Elementi di Euclide

Prop.18: Fissare e confrontare tra loro i lati delle cinque figure

Dimostrazione

Si fissi il diametro della sfera AB e lo si sechi nel punto nei punto C così che AC sia uguale a CB e nel punto D così che AD sia doppio di DB e si tracci su AB un semicerchio AEB e da C e D si conduca ad angoli retti con AB le rette CE, DF (Prop.1-11).

E poiché AD è doppia di DB, allora AB è tripla di BD. Convertendo, quindi, BA è tre mezzi di AD. Ma BA sta a AD come il quadrato su BA sta al quadrato su AF, il triangolo AFB è infatti equiangolo al triangolo AFD (Prop.6-8). Il quadrato su BA è tre mezzi il quadrato su AF. Ma anche il quadrato sul diametro della sfera è tre mezzi del quadrato sul lato della piramide. E AB è il diametro della sfera, pertanto AF è uguale al lato della piramide (Prop.13-13).

Di nuovo, poiché AD è doppia di DB, allora AB è tripla di BD. Ma AB sta a BD come il quadrato su AB sta al quadrato su BF, pertanto il quadrato su AB è triplo del quadrato su BF (Prop.6-8). Ma anche il quadrato sul diametro della sfera è triplo del quadrato sul lato del cubo (Prop.13-15). E AB è il diametro della sfera, pertanto BF è il lato del cubo. E poiché AC è uguale a CB, allora AB è doppia di BC. Ma AB sta a BC come il quadrato su AB sta al quadrato su BE, pertanto il quadrato su AB è doppio del quadrato su BE.

Ma anche il quadrato sul diametro della sfera è doppio del quadrato sul lato dell'ottaedro. E AB è il diametro della sfera data, pertanto BE è il lato dell'ottaedro (Prop.13-14).

Si conduca ora AG dal punto A ad angoli retti con la retta AB (Prop.1-11), si ponga AG uguale ad AB (Prop.1-3), si congiunga GC, e si conduca HK da H perpendicolare ad AB (Prop.1-12). E poiché GA è doppia di AC, GA è infatti uguale ad AB e GA sta ad AC come HK sta a KC, allora anche HK è doppia di KC. Il quadrato su HK è quindi quadruplo del quadrato su KC, pertanto la somma dei quadrati su HK e KC, cioè il quadrato su HC, è cinque volte il quadrato su KC.

Ma HC è uguale a CB, pertanto il quadrato su BC è cinque volte il quadrato su CK. E poiché AB è doppia di CB, delle quali AD è doppia di DB, allora BD restante è doppia di DC restante. BC è quindi tripla di CD, pertanto il quadrato su BC è nove volte il quadrato su CD. Ma il quadrato su BC è cinque volte il quadrato su CK, pertanto il quadrato su CK è maggiore del quadrato su CD. CK è quindi maggiore di CD.

Si ponga CL uguale a CK (Prop.1-3), si conduca LM da L ad angoli retti con AB, e si congiunga MB (Prop.1-11). E poiché il quadrato su BC è cinque volte il quadrato su CK, e AB è doppia di BC, e KL è doppia di CK, allora il quadrato su AB è cinque volte il quadrato su KL. Ma anche il quadrato sul diametro della sfera è cinque volte il quadrato su raggio del cerchio su cui risulta descritto l'icosaedro (Prop.13-16-Cor). E AB è il diametro della sfera, pertanto KL è il raggio del cerchio su cui risulta descritto l'icosaedro. KL è quindi un lato dell'esagono nel detto cerchio (Prop.4-15).

E poiché il diametro della sfera si compone sia del lato dell'esagono sia da due lati del decagono inscritto nello stesso cerchio, e AB è il diametro della sfera, mentre KL è un lato dell'esagono, e AK è uguale a LB, allora ognuna delle rette AK, LB è un lato del decagono inscritto nel cerchio su cui risulta descritto l'icosaedro (Prop.13-16-Cor). E poiché LB è lato di un decagono, e ML di un esagono, ML è infatti uguale a KL, poiché è uguale anche a HK, distano infatti ugualmente dal centro, e ognuna delle rette HK, KL è doppia di KC, allora MB è lato di un pentagono (Prop.13-10).

Ma il lato del pentagono è il lato dell'icosaedro, pertanto MB è lato dell'icosaedro (Prop.13-16). E poiché FB è un lato del cubo, sia secato nel rapporto estremo e medio in N, e sia NB il segmento maggiore. NB è quindi un lato del dodecaedro (Prop.13-17-Cor).

E poiché il quadrato sul diametro della sfera è stato dimostrato essere tre mezzi del quadrato sul lato AF della piramide, doppio del quadrato sul lato BE dell'ottaedro e triplo del lato FB del cubo, di quali il quadrato sul diametro della sfera ne contiene sei, allora il quadrato sul lato della piramide ne contiene quattro, il quadrato sul lato dell'ottaedro tre, e il quadrato sul lato del cubo due.

Il quadrato sul lato della piramide è quindi quattro terzi del quadrato sul lato dell'ottaedro, e doppio del quadrato sul lato del cubo, e il quadrato sul lato dell'ottaedro è tre mezzi del quadrato sul lato del cubo. E dunque i detti lati delle tre figure, dico proprio di piramide, ottaedro e cubo, sono tra loro in rapporti razionali. Ma i due restanti, dico proprio il lato dell'icosaedro e il lato del dodecaedro, non sono in rapporti razionali né tra loro né rispetto ai predetti lati, sono infatti irrazionali, uno la minore (Prop.13-16) e l'altro l'apotome (Prop.13-17).

Che il lato MB dell'icosaedro è maggiore del lato NB del dodecaedro lo dimostriamo così.

Poiché il triangolo FDB è equiangolo al triangolo FAB (Prop.6-8), in proporzione è DB sta a BF come BF sta a BA (Prop.6-4). E poiché sono tre rette in proporzione, la prima sta alla terza come il quadrato sulla prima sta al quadrato sulla seconda, allora DB sta a BA come il quadrato su DB sta al quadrato su BF. Invertendo quindi AB sta a BD come il quadrato su FB sta al quadrato su BD (Prop.6-20-Cor).

Ma AB è triplo di BD, pertanto il quadrato su FB è triplo del quadrato su BD. Ma anche il quadrato su AD è quadruplo del quadrato su DB, AD è infatti doppio di DB, pertanto il quadrato su AD è maggiore del quadrato su FB. AD è quindi maggiore di FB. AL è quindi molto maggiore di FB. E secata AL nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è KL, LK è infatti lato di un esagono e KA di un decagono, e, secata FB nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è NB, pertanto KL è maggiore di NB (Prop.13-9).

Ma KL è uguale a LM, pertanto LM è maggiore di NB. MB, che è un lato dell'icosaedro, è quindi molto maggiore di NB che è un lato del dodecaedro.

Dico ora che nessun altra figura, a parte le dette cinque figure, può essere costruita che sia compresa da figure equilatere e equiangoli uguali tra loro.

Infatti un angolo solido non può essere costruito con due triangoli, o in generale piani. Da tre triangoli quello della piramide, da quattro quello dell'ottaedro, e da cinque quello dell'icosaedro, ma un angolo solido non può essere formato da sei triangoli equilateri e equiangoli costruiti su un solo punto; infatti l'angolo del triangolo equilatero sarà due terzi dell'angolo retto, i sei saranno uguali a quattro retti, il che è impossibile: ogni angolo è infatti compreso da meno di quattro angoli retti (Prop.11-21).

Per gli stessi motivi, un angolo solido può essere costruito con più di sei angoli piani. Da tre quadrati è compreso l'angolo del cubo, ma da quattro è impossibile: vi saranno infatti di nuovo quattro angoli retti. E da tre pentagoni equilateri e equiangoli è compreso l'angolo del dodecaedro, ma da quattro è impossibile: l'angolo del pentagono equilatero un angolo retto e un quinto, i quattro angoli saranno maggiori di quattro retti, il che è impossibile.

Né a dire il vero da altre figure poligonali saranno compresi angoli solidi per lo stessa condizione di assurdità.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento AB
• Punto Medio: segna il punto medio C di AB
• Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di raggio AD = 2xAB/3 e segna il punto D
• Semicirconferenza: disegna la semicirconferenza AEB di diametro AB
• Perpendicolare: disegna i segmenti CE e DF perpendicolari ad AB
• Segmento: disegna i segmenti AF, FB, EB
• Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AB
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad AB, che interseca la circonferenza in G
• Segmento: disegna il segmento GC che interseca la semicirconferenza in H
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad AB da H che interseca il diametro in K
• Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento BL = AK
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad AB da L che interseca in M
• Segmento: disegna i segmenti MB, AE, AM, BM, BE

Lemma: Che l'angolo del pentagono equilatero e equiangolo è un retto e un quinto va dimostrato così

Dimostrazione:

Sia ABCDE un pentagono equilatero e equiangolo. Si circoscriva intorno a esso il cerchio ABCDE (Prop.4-14), si prenda il suo centro F, e si congiungano FA, FB, FC, FD, FE. Secando quindi a metà gli angoli del pentagono in A, B, C, D, E. E poiché i cinque angoli su F sono uguali a quattro angoli retti e uguali tra loro, allora uno solo di essi, come l'angolo AFB, è un angolo retto meno un quinto. Gli angoli restanti FAB e ABF sono quindi di un angolo retto e un quinto.

Ma l'angolo FAB è uguale all'angolo FBC, pertanto l'angolo ABC totale del pentagono è di un solo retto e un quinto.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento CD
• Poligono regolare: disegna il pentagono ABCDE
• Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta
• comando Centro[]: segna il centro F
• Segmento: disegna i raggi nei vertici del pentagono

Se \(r\) è il raggio della sfera circoscritta ai solidi regolari e \(l\) è il lato del poligono che forma le facce, allora il rapporto tra il lato e il raggio è dato per ognuno dei solidi da:

tetraedro: \(\frac{l} {r} = \frac{2}{3} \sqrt{6}\)

ottaedro: \(\frac{l} {r} = \sqrt{2}\)

cubo: \(\frac{l} {r} = \frac{2}{3} \sqrt{3}\)

icosaedro: \(\frac{l} {r} = \frac{\sqrt{3}}{3}\left ( \sqrt{5}-1 \right )\)

dodecaedro: \(\frac{l} {r} = \frac{\sqrt{5}}{10}\left ( \sqrt{5}-1 \right )\sqrt{10+2\sqrt{5}}\)