LIBRO XI
Prop.39: Se vi sono due prismi di uguale altezza, e uno ha come base un parallelogrammo e l'altro un triangolo, e se il parallelogrammo è doppio del triangolo, allora i prismi sono uguali
Dimostrazione
Siano ABCDEF e GHKLMN di uguale altezza e il primo abbia come base il parallelogrammo AF e l'altro il triangolo GHK e il parallelogrammo AF sia doppio del triangolo GHK: dico che il prisma ABCDEF è uguale al prisma GHKLMN.
Si completino i solidi AO e GP.
Poiché il parallelogrammo AF è doppio del triangolo GHK, e anche il parallelogrammo HK è doppio del triangolo GHK, allora il parallelogrammo AF è uguale al parallelogrammo HK (Prop.1-34). Ma solidi parallelepipedi su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro, pertanto il solido AO è uguale al solido GP (Prop.11-31).
E il prisma ABCDEF è la metà del solido AO, e il prisma GHKLMN è la metà del solido GP, pertanto il prisma ABCDEF è uguale al prisma GMKLMN (Prop.11-28).
Se vi sono quindi due prismi di uguale altezza, e uno ha come base un parallelogrammo e l'altro un triangolo, e se il parallelogrammo è doppio del triangolo, allora i prismi sono uguali.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le due rette che formano i lati consecutivi della base
- Parallela: la base AF
- Perpendicolare: disegna l'altezza AB
- Parallela: completa il prisma e il solido AO
- Punto: segna il punto G sulla retta EF
- Segmento: disegna il segmento GH
- Perpendicolare: disegna la distanza di A da EF e la distanza di H da EF
- Parallela: disegna la retta per H parallela a EF
- Circonferenza di dato centro: disegna GK tale che i parallelogrammi AF e HK siano equivalenti
- Parallela: completa il prisma e il solido GP