LIBRO XI
Prop.16: Se due piani paralleli sono secati da un certo piano, allora le loro intersezioni sono parallele
Dimostrazione
Due piani paralleli AB, CD siano secati da un piano EFGH, e loro intersezioni comuni siano EF, GH: dico che EF è parallelo a GH.
Se infatti no, allora EF e GH, se prolungati, si incontreranno o dalla parte di F e H o da quella di E e G.
Si incontrino in primo luogo, se prolungati, nella direzione di F e G in K.
E poiché EFK si trova nel piano AB, allora anche tutti i punti su EFK si trovano nel piano AB. Ma K è uno dei punti sulla retta EFK (Prop.11-1), pertanto K si trova nel piano AB. Per gli stessi motivi K si trova anche nel piano CD. Pertanto, i piani AB e CD, se prolungati, si incontreranno.
Ma essi non si incontrano, poiché è stato supposto che sono paralleli. Le rette EF e GH non si incontreranno quindi, se prolungate, dalla parte di F e H. Analogamente si dimostra che le rette EF, GH non si incontrano, nemmeno se prolungate, dalla parte di E e G.
Ma rette che non si incontrano né da una parte né dall'altra sono parallele.
Se quindi due piani paralleli sono secati da un certo piano, allora le loro intersezioni sono parallele.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Traslazione: disegna il secondo piano
- Punto: segna i punti E e G rispettivamente nel piano superiore e inferiore
- Parallela: disegna la parallela EF ad un lato del piano superiore
- Segmento: disegna il segmento EG
- Parallela: disegna il segmento GH parallelo a EF
- Punto: segna il punto K esterno ai due piani
- Segmento: disegna i segmenti FK e HK
Questa proposizione è usata nella proposizione successiva così come nella Prop 11-24.