LIBRO XI
Prop.18: Se una retta è ad angoli retti con un certo piano, allora anche tutti i piani per essa sono ad angoli retti con lo stesso piano
Dimostrazione
Una certa retta AB sia ad angoli retti con il piano di riferimento: dico che anche tutti i piani per AB sono ad angoli retti con il piano di riferimento.
Si prolunghi per AB un piano DE. Sia CE l'intersezione tra il piano DE e quello di riferimento. Si prenda un punto F come capita su CE, e si conduca FG dal punto F ad angoli retti con CE nel piano DE (Prop.1-11).
E poiché AB è ad angoli retti con il piano di riferimento, allora AB è ad angoli retti anche con tutte le rette che la incontrano e che sono nel piano di riferimento, così che è ad angoli retti anche con CE. L'angolo ABF è quindi retto (Def.11-4). Ma anche l'angolo GFB è retto, pertanto AB è parallela a FG (Prop.1-28).
Ma AB è ad angoli retti con il piano di riferimento, pertanto anche FG è ad angoli retti con il piano di riferimento (Prop.11-8). Ora un piano è ad angoli retti con un piano quando le rette condotte in uno dei piani ad angoli retti all'intersezione tra i piani sono ad angoli retti con il piano rimanente.
Ma FG, condotta in uno dei piani DE ad angoli retti con CE, l'intersezione tra i piani, è stata mostrata essere ad angoli retti con il piano di riferimento. Il piano DE è quindi ad angoli retti con il piano di riferimento (Def.11-4).
Analogamente di può dimostrare che tutti i piani per AB sono ad angoli retti con il piano di riferimento.
Se quindi una retta è ad angoli retti con un certo piano, allora anche tutti i piani per essa sono ad angoli retti con lo stesso piano.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Perpendicolare: disegna il segmento AB perpendicolare al piano
- Segmento: disegna il segmento CE passante per B
- Punto: segna su EC il punto F
- Parallela: disegna i segmenti CD, FG paralleli a CE
- Parallela: disegna il segmento DA parallelo a CE
Questa proposizione è usata nella Prop 12-17.