Elementi di Euclide

Prop.17: Date due sfere attorno allo stesso centro, inscrivere nella sfera maggiore un solido poliedrico che non tocchi la sfera minore sulla sua superficie

Dimostrazione

Siano concepite due sfere intorno allo stesso centro A. Si deve pertanto inscrivere nella sfera maggiore un solido poliedrico che non tocchi la sfera minore sulla sua superficie.

Si sechino le sfere con un certo piano per il centro, allora le sezioni saranno cerchi, poiché stando fermo il diametro e ruotando il semicerchio , risulta proprio la sfera (Def. 11-14).

Ed è chiaro che questo cerchio è massimo, poiché il diametro della sfera, che ovviamente è anche il diametro sia del semicerchio e del cerchio, è maggiore di tutte le linee rette condotte oltre nel cerchio o nella sfera (Prop. 1-11).

Sia BCDE il cerchio nella sfera maggiore e FGH il cerchio nella sfera minore e siano tracciati diametri in essi, BD, CE, ad angolo retto tra loro; ed essendo due cerchi BCDE, FGH intorno allo stesso centro, si inscriva nel cerchio maggiore BCDE un poligono equilatero con un numero pari di lati che non tocchi il cerchio minore FGH(Prop. 11-12) e siano BK, KL, LM e ME i suoi lati nel quadrante BE. Si congiunga KA e la si conduca oltre fino a N e si eriga AO in alto dal punto A ad angoli retti rispetto al piano del cerchio BCDE e incontri la superficie della sfera in O.

Si trasportino piani attraverso AO e ciascuna delle rette BD e KN. Esse fanno i cerchi massimi sulla superficie della sfera per il motivo indicato. Li facciano, e in essi BOD e KON siano i semicerchi su BD e KN (Prop. 11-18). Ora, poiché OA è ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE, quindi tutti i piani che passano per OA sono anche ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE. Quindi anche i semicerchi BOD, KON sono ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE. E, poiché i semicerchi BED, BOD, KON sono uguali, sono infatti su diametri uguali BD e KN, allora anche i quadranti BE, BO, KO sono uguali tra loro. Quindi ci sono tante rette nei quadranti BO e KO uguali alle rette BK, KL, LM, ME quanti sono i lati del poligono nel quadrante BE (Prop. 11-11) (Prop. 4-1).

Siano stati inscritti e siano BP, PQ, QR, RO e come KS, ST, TU, UO. Si congiungano SP, TQ, UR e si traccino le perpendicolari da P e da S al piano del cerchio BCDE (Def. 11-4). Questi cadranno su BD e KN, le sezioni comuni dei piani, poiché anche i piani di BOD e KON sono ad angoli retti rispetto al piano del cerchio BCDE. Cadano e siano PV e SW e si congiunga WV (Prop. 3-27) (Prop. 1-26). E poiché in semicerchi uguali BOD e KON, le linee rette uguali BP e KS sono state tagliate e le perpendicolari PV e SW sono state tracciate, allora PV è uguale a SW e BV è uguale a KW (Prop. 6-2).

Ma BA totale è anche uguale a KA totale, quindi anche il restante VA è uguale al restante WA. Quindi BV sta a VA come KW sta a WA. Pertanto WV è parallelo a KB (Prop. 11-6). E poiché ciascuna delle linee rette PV e SW è ad angoli retti con il piano del cerchio BCDE, allora PV è parallela a SW (Prop. 1-33). Ma è stato anche dimostrato uguale ad esso, quindi WV e SP sono uguali e paralleli (Prop. 11-9). E, poiché WV è parallelo a SP e WV è parallelo a KB, anche SP è parallelo a KB (Prop. 11-7). E BP e KS uniscono le loro estremità, quindi il quadrilatero KBPS è su un piano, perché se due linee rette sono parallele, e i punti sono presi a caso su ciascuna di esse, allora la linea retta che unisce i punti è sullo stesso piano con i paralleli. Per lo stesso motivo ciascuno dei quadrilateri SPQT e TQRU è anche su un piano (Prop. 11-2).

Ma anche il triangolo URO è su un piano. Se poi congiungiamo rette dai punti P, S, Q, T, R, U ad A, allora verrà costruita una certa figura solida poliedrica tra le circonferenze BO e KO costituita da piramidi di cui i quadrilateri KBPS, SPQT, TQRU e il triangolo URO sono le basi e il punto A è il vertice. E, se facciamo la stessa costruzione per ciascuno dei lati KL, LM, ME come nel caso di BK, e inoltre, nel caso dei rimanenti tre quadranti, allora verrà costruita una certa figura poliedrica inscritta nella sfera e composta da piramidi, di cui i detti quadrilateri e il triangolo URO, e gli altri ad essi corrispondenti, sono le basi e il punto A è il vertice.

Dico che il suddetto poliedro non tocca la sfera minore sulla superficie su cui si trova il cerchio FGH

Si tracci AX dal punto A perpendicolare al piano del quadrilatero KBPS e lo incontri nel punto X. Si congiunga XB e XK. Allora, poiché AX è ad angoli retti rispetto al piano del quadrilatero KBPS, è anche ad angoli retti con tutte le rette che lo incontrano e sono nel piano del quadrilatero. Pertanto AX è ad angoli retti con ciascuna delle rette BX e XK (Prop. 1-27). E, poiché AB è uguale ad AK, allora anche il quadrato su AB è uguale al quadrato E la somma dei quadrati su AX e XB è uguale al quadrato su AB, poiché l'angolo su X è giusto e la somma dei quadrati su AX e XK è uguale al quadrato su AK. Pertanto la somma dei quadrati su AX e XB è uguale alla somma dei quadrati su AX e XK. Si sottragga il quadrato su AX da ciascuno, quindi il restante, il quadrato su BX, è uguale al restantge, il quadrato su XK. BX è allora uguale a XK. Allo stesso modo possiamo dimostrare che le rette congiunte da X a P e S sono uguali a ciascuna delle rette BX e XK. Quindi il cerchio di centro X e raggio sulle rette XB o XK passa anche per P e S, e KBPS è un quadrilatero in un cerchio. Ora, poiché KB è maggiore di WV e WV è uguale a SP, KB è maggiore di SP. Ma KB è uguale a ciascuna delle rette KS e BP, quindi ciascuna delle rette KS e BP è maggiore di SP. E, poiché KBPS è un quadrilatero in un cerchio, e KB, BP, KS sono uguali e PS minore, e BX è il raggio del cerchio, quindi il quadrato su KB è maggiore del doppio del quadrato su BX (Prop. 1-12).

Si tracci KZ da K perpendicolare a BV (Prop. 1-46). Quindi, poiché BD è minore del doppio DZ, e BD sta a DZ come il rettangolo DB per BZ sta al rettangolo DZ per ZB, allora se un quadrato è descritto su BZ e il parallelogramma su ZD è completato, allora il rettangolo DB per BZ è anche minore del doppio del rettangolo DZ per ZB. E, se KD è congiunto, il rettangolo DB per BZ è uguale al quadrato su BK e il rettangolo DZ per ZB è uguale al quadrato su KZ. Quindi il quadrato su KB è minore del doppio del quadrato su . Ma il quadrato su KB è maggiore del doppio del quadrato su BX, quindi il quadrato su KZ è maggiore del quadrato su BX. E, poiché BA è uguale a KA, allora il quadrato su BA è uguale al quadrato su AK (Prop. 1-47). E la somma dei quadrati su BX e XA è uguale al quadrato su BA, e la somma dei quadrati su KZ e ZA è uguale al quadrato su KA, quindi la somma dei quadrati su BX e XA è uguale alla somma dei quadrati su KZ e ZA, e di questi il quadrato su KZ è maggiore del quadrato su BX, quindi il restante, il quadrato su ZA, è minore del quadrato su XA. Pertanto AX è maggiore di AZ. AX è allora molto maggiore di AG. E AX è la perpendicolare su una base del poliedro e AG sulla superficie della sfera minore, quindi il poliedro non tocca la sfera minore sulla sua superficie.

Pertanto, date due sfere attorno allo stesso centro, un solido poliedrico è stato inscritto nella sfera maggiore che non tocca la sfera minore sulla sua superficie.

Corollario: E se nell'altra sferaè inscritto un solido poliedrico simile al solido nella sfera BCDE, allora il solido poliedrico nella sfera BCDE ha rispetto al solido poliedrico nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che il diametro della sfera BCDE ha con il diametro dell'altra sfera.

Divisi infatti i solidi nelle loro piramidi molteplici e ordinate similmente, le piramidi saranno simili. Ma piramidi simili stanno tra loro nel rapporto triplicato dei loro lati omologhi, pertanto la piramide con base il quadrilatero KBPS e vertice A ha con la piramide ordinata similmente nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che il lato omologo ha con il lato omologo, cioè, di quello che il raggio AB della sfera intorno ad A ha con il raggio dell'altra sfera.

Analogamente ogni piramide di quelle nella sfera intorno ad A ha con ogni piramide ordinata similmente di quella nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che AB ha con il raggio dell'altra sfera. E uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come tutti gli antecedenti stanno a tutti i conseguenti (Prop.5-12), così che il solido poliedrico totale nella sfera attorno ad A ha con il solido poliedrico totale nell'altra sfera il rapporto triplicato di quello che AB ha con il raggio dell'altra sfera, cioè, di quello che il diametro BD ha con il diametro dell'altra sfera.

La costruzione con GeoGebra:

• Circonferenza: disegna le circonferenze di centro A e raggio AB e AG
• Perpendicolare: disegna i diametri BD e CE
• Segmento: disegna la corda BE
• Punto Medio: segna il punto medio della corda
• Semiretta: disegna la semiretta AL, che interseca la circonferenza maggiore in L
• Segmento: disegna le corde BL e LE e ripeti la procedura dividendo a metà le due corde
• Segmento: disegna i lati BK, KL, LM, ME del poligono regolare nel quadrante BE
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare AO a KN
• Arco per tre punti: disegna gli archi BOD e KON
• riptere i passi 3-7 per disegnare i segmenti BP, PQ, QR, RO e KS, ST, TU, UO
• Segmento: disegna i segmenti PS, QT, RU
• Perpendicolare: disegna le perpendicolari PV e SW da P e S a BD e si tracci VW