LIBRO XII
Prop.18: Le sfere sono tra loro in rapporto triplicato di quello dei propri diametri
Dimostrazione
Siano ABC e DEF sfere, e siano BC e EF i loro diametri: dico che la sfera ABC ha con la sfera DEF il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF.
Se infatti la sfera ABC non ha con la sfera DEF il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF, allora la sfera ABC ha rapporto triplicato o con una certa sfera minore di DEF, o con una maggiore, di quello che BC ha con EF. Abbia in primo luogo quel rapporto con una sfera minore GHK e sia concepita DEF intorno allo stesso centro di GHK.
Si inscriva nella sfera maggiore DEF un solido poliedrico che non tocchi la sfera minore GHK secondo la superficie (Prop.12-17). Si inscirva anche nella sfera ABC un solido poliedrico simile al solido poliedrico nella sfera DEF. Il solido poliedrico in ABC ha quindi con il solido poliedrico in DEF il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF (Prop.12-17Cor).
Ma anche la sfera ABC ha con la sfera GHK il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF, pertanto la sfera ABC sta alla sfera GHK come il solido poliedrico nella sfera ABC sta al solido poliedrico nella sfera DEF, e, alternando (Prop.5-16) la sfera ABC sta al solido poliedrico in essa come la sfera GHK sta al solido poliedrico nella sfera DEF.
Ma la sfera ABC è maggiore del solido poliedrico in essa, pertanto anche la sfera GHK è maggiore del poliedro nella sfera DEF (Prop.5-14). Ma è anche minore, è infatti contenuta da esso. La sfera ABC non ha quindi con una sfera minore della sfera DEF il rapporto triplicato di quello che il diametro BC ha con EF. Analogamente si dimostra che neanche la sfera DEF ha con la sfera minore della sfera ABC il rapporto triplicato di quello che EF ha con BC.
Dico ora che neanche la sfera ABC ha rispetto a una certa sfera maggiore della sfera DEF il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF.
Se infatti possibile, lo abbia rispetto ad una maggiore, LMN. Allora, invertendo, la sfera LMN ha con la sfera ABC il rapporto triplicato di quello che il diametro EF ha con il diametro BC. Ma, poiché LMN è maggiore di DEF, allora la sfera LMN sta alla sfera ABC come la sfera DEF sta a una certa sfera minore della sfera ABC, come dimostrato prima (Prop.12-2).
Anche la sfera DEF ha quindi con una certa sfera minore della sfera ABC il rapporto triplicato di quello che EF ha con BC, il che è stato dimostrato impossibile. La sfera ABC non ha quindi con una certa sfera maggiore della sfera DEF il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF. Ma è stato dimostrato che non ha tale rapporto nemmeno con la sfera minore. La sfera ABC ha con la sfera DEF il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna le quattro circonferenze