Elementi di Euclide

Prop.2: I cerchi stanno tra loro come i quadrati sui loro diametri

Dimostrazione

Siano ABCD, EFGH cerchi e loro diametri siano BD, FH: dico che il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH come il quadrato su BD sta al quadrato su FH.

Se, infatti, il quadrato su BD non sta al quadrato su FH come il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH, allora sarà come il quadrato su BD sta al quadrato su FH, come il cerchio ABCD sta o a una certa area minore del cerchio EFGH, o a un'area maggiore. Sia in primo luogo rispetto ad un'area minore S.

Si inscriva il quadrato EFGH nel cerchio EFGH (Prop.4-6). Allora il quadrato inscritto è maggiore della metà del cerchio EFGH, poiché se per i punti E, F, G, H conduciamo rette tangenti al cerchio (Prop.3-17), allora il quadrato EFGH è metà del quadrato circoscritto al cerchio, e il cerchio è minore del quadrato circoscritto, così che il quadrato inscitto EFGH è maggiore della metà del cerchio EFGH.

Si sechino a metà gli archi EF, FG, GH, HE nei punti K, L, M, N. Si congiungano EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN, NE.

Anche ciascuno dei triangoli EKF, FLG, GMH, HNE è quindi maggiore della metà del corrispondente segmento di cerchio, poiché se per i punti K, L, M, N conduciamo tangenti al cerchio e completiamo i parallelogrammi sulle rette EF, FG, GH, HE, allora oguno dei triangoli EKF, FLG, GMH, HNE è metà del corrispondente parallelogrammo, mentre il corrispondente segmento è minore del parallelogrammo, pertanto ognuno dei triangoli EKF, FLG, GMH, HNE è maggiore della metà del corrispondente segmento del cerchio.

Secando pertanto a metà gli archi restanti e congiungendo le rette, e facendo questo in successione, faremo restare fuori certi segmenti del cerchio che saranno mionori dell'eccesso con cui il cerchio EFGH eccede l'area S. è stato infatti dimostrato nel primo teorema del decimo libro (Prop.10-1) che se sono fissate due grandezze disuguali, e se dalla maggiore si sottrae una grandezza maggiore della metà, e dalla rimanente una maggiore della metà, e se questo risulta in successione, allora rimarrà una certa grandezza che è minore della minore grandezza fissata.

Risulti quindi rimasta, e siano i segmenti EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN, NE del cerchio EFGH minori dell'eccesso con cui il cerchio EFGH eccede l'area S. La restante, il poligono EKFLGMHN, è quindi maggiore dell'area S. Si inscriva ora nel cerchio ABCD il poligono AOBPCQDR simile al poligono EKFLGMHN. Il quadrato su BD sta quindi al quadrato su FH come il poligono AOBPCQDR sta al poligono EKFLGMHN (Prop.12-1).

Ma il quadrato su BD sta al quadrato su FH come il cerchio ABCD sta all'area S, pertanto il cerchio ABCD sta all'area S come il poligono AOBPCQDR sta al poligono EKFLGMHN. Alternando (Prop.5-16), il cerchio ABCD sta quindi al poligono inscritto in esso come l'area S sta al poligono EKFLGMHN.

Ma il cerchio ABCD è maggiore del poligono in esso inscritto, pertanto anche l'area S è maggiore del poligono EKFLGMHN. Ma è anche minore, il che è impossbile. Il quadrato su BD non sta quindi al quadrato su FH come il cerchio ABCD sta ad una certa area minore del cerchio EFGH. Analogamente si può dimostrare che il cerchio EFGH non sta ad una certa area minore del cerchio ABCD come il quadrato su FH sta al quadrato su BD.

Dico ora che nemmeno il cerchio ABCD sta ad una certa area maggiore del cerchio EFGH come il quadrato su BD sta al quadrato su FH.

Se infatti possibile, sia rispetto ad un'area maggiore S. Allora, invertendo, il quadrato su FH sta al quadrato su DB come l'area S sta al cerchio ABCD. Ma l'area S sta al cerchio ABCD come il cerchio EFGH sta ad una certa area minore del cerchio ABCD; pertanto il quadrato su FH sta al quadrato su BD come il cerchio EFGH sta ad una certa area minore del cerchio ABCD, il che è stato dimostrato impossibile. Il quadrato su BD non sta quindi al quadrato su FH come il cerchio ABCD sta ad una certa area maggiore del cerchio EFGH (Prop.5-11).

Ed è stato dimostrato che neanche rispetto ad una certa area minore del cerchio EFGH, pertanto il quadrato su BD sta al quadrato su FH come il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH.

I cerchi stanno quindi tra loro come i quadrati sui loro diametri.

Corollario: Dico che, essendo l'area S maggiore del cerchio EFGH l'area S sta al cerchio ABCD come il cerchio EFGH sta ad una certa area minore del cerchio ABCD.

Risulti infatti essere che l'area S sta al cerchio ABCD come il cerchio EFGH sta all'area T: dico che l'area T è minore del cerchio ABCD. Poiché l'area S sta al cerchio ABCD come il cerchio EFGH sta all'area T, allora, alternando l'area S sta al cerchio EFGH come il cerchio ABCD sta all'area T. Ma l'area S è maggiore del cerchio EFGH, pertanto anche il cerchio ABCD è maggiore dell'area T. Così l'area S sta al cerchio ABCD come il cerchio EFGH sta ad una certa area minore del cerchio ABCD.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegnare la retta sulla quale tracciare i diametri BD e FH
• Punto Medio: segna i punti medi di BD e FH
• Circonferenza: disegna le circonferenze di diametro BD e FH
• Perpendicolare: dal centro di FH traccia la perpendicolare al diametro che interseca in E e G
• Poligono: disegna il quadrato inscritto EFGH
• Perpendicolare: dal centro di FH traccia la perpendicolare ai lati del quadrato
• Poligono: disegna l'ottagono inscritto
• Tangente: disegna la tangente alla circonferenza in K
• Perpendicolare: completa il rettangolo di base FE
• ripeti la costruzione per tracciare l'ottagono inscritto nel cerchio di diametro BD
• Segmento: disegna il segmento di base (b) della figura S
• Circonferenza di raggio dato: disegna l'altezza della figura S, h = FHxFHxArea(ABCD)/BDxBDxb
• Parallela: completa il rettangolo S
• Segmento: disegna il segmento di base (c) della figura T
• Circonferenza di raggio dato: disegna l'altezza di T, k = Area(ABCD)xArea(EFGH)/S*k
• Parallela: completa il rettangolo T

L'approssimazione di una figura mediante una successione di figure è detto il "principio di esaustione". L'aspetto più importante di questo principio è che la sequenza di approssimazioni può essere fatta in modo che la differenza tra la figura data e quella inscritta diminuisca almeno della metà in ogni passo successivo. La successione può procedere all'infinito, per cui tale proposizione potrebbe essere ricavata dalla precedente pensando la circonferenza come un poligono con infiniti lati. Questo schema dimostrativo viene utilizzato in modo indentico anche in altri casi.