LIBRO XII
Prop.1: Poligoni simili inscritti nei cerchi stanno tra loro come i quadrati sui loro diametri
Dimostrazione
Siano ABC, FGH cerchi e in essi siano inscritti i poligoni ABCDE, FGHKL e diametri dei cerchi siano BM, GN: dico che il quadrato su BM sta al quadrato su GN come il poligono ABCDE sta al poligono FGHKL.
Si congiungano BE, AM, GL, FN. E poiché il poligono ABCDE è simile al poligono FGHKL, allora l'angolo BAE è uguale all'angolo GFL, e BA sta a AE come GF sta a FL (Def.6-1). BAE e GFL sono quindi due triangoli che hanno un angolo uguale a un angolo, cioè BAE a GFL, e i lati intorno agli angoli uguali proporzionali, pertanto il triangolo ABE è equiangolo al triangolo FGL (Prop.6-6). L'angolo AEB è quindi uguale all'angolo FLG.
Ma l'angolo AEB è uguale all'angolo AMB, insistono infatti sullo stesso arco (Prop.3-27), e l'angolo FLG è uguale all'angolo FNG, pertanto anche l'angolo AMB è uguale all'angolo FNG. Ma anche l'angolo retto BAM è uguale all'angolo retto GFN (Prop.3-31), pertanto l'angolo restante è uguale all'angolo restante (Prop.1-32). Il triangolo ABM è quindi equiangolo al triangolo FGN.
In proporzione quindi BM sta a GN come BA sta a GF (Prop.6-4). Ma il rapporto tra i quadrato su BM e il quadrato su GN è raddoppiato di quello tra BM e GN, e il rapporto tra il poligono ABCDE e il poligono FGHKL è raddoppiato di quello tra BA e GF (Prop.6-20).
Il quadrato su BM sta quindi al quadrato su GN come il poligono ABCDE sta al poligono su FGHKL.
Poligoni simili inscritti nei cerchi stanno quindi tra loro come i quadrati sui loro diametri.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna la circonferenza di diametro BM
- Poligono: disegna il poligono inscritto ABCDE
- Punto: segna il punto G
- Segmento: disegna il segmento FG
- Angolo: segna l'angolo ABC
- Angolo di misura data: disegna l'angolo FGH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GH = FGxBC/AB
- ripeti la procedura per ottenere i lati del secondo poligono simile
- Segmento: disegna i segmenti BE, AM, BM
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta a FGHKL
- sulla linea di comando centro[FGHKL o la sua etichetta]
- Segmento: disegna i segmenti GN, GL, FN
La Proposizione VI.20 afferma che il rapporto di poligoni simili è doppio del rapporto dei loro lati corrispondenti, quindi tutto ciò che serve è che i lati corrispondenti siano proporzionali ai diametri dei cerchi circoscritti, un risultato che costituisce la maggior parte della semplice dimostrazione.
Questa proposizione prepara la successiva in cui viene mostrato che i cerchi sono proporzionali ai quadrati sui loro diametri. La connessione è che i cerchi possono essere arbitrariamente approssimati da poligoni, in modo che se i poligoni sono proporzionali ai quadrati, allora i cerchi saranno proporzionali ai quadrati. La difficoltà di questa dimostrazione è di rendere rigoroso questo argomento.