LIBRO XII
Prop.16: Dati due cerchi intorno allo stesso centro, inscrivere nel cerchio maggiore un poligono sia equilatero che con un numero pari di lati che non tocca il cerchio minore
Dimostrazione
Siano i due cerchi ABCD, EFGH intorno allo stesso centro K: si deve pertanto inscrivere nel cerchio ABCD un poligono, sia equilatero che con lo stesso numero di lati, che non tocca il cerchio EFGH.
Si tracci la retta BKD per il centro K, e si conduca GA dal punto G ad angoli retti alla retta BD, e si conduca oltre fino a C (Prop1-11). AC è quindi tangente al cerchio EFGH (Prop.3-16-cor). Allora, secando a metà l'arco BAD, e la sua metà a metà, e facendo questo in successione, faremo restare fuori un arco minore di AD (Prop.10-1).
Risulti restato e sia LD. Si conduca LM da L perpendicolare a BD, e la si conduca oltre fino a N (Prop1-11). Si congiunga LD e DN. LD è quindi uguale a DN (Prop.3-3) (Prop.1-4). E poiché LN è parallelo ad AC, e AC è tangente al cerchio EFGH, allora LN non è tangente al cerchio EFGH. Di molto, anche LD e DN non sono quindi tangenti al cerchio EFGH.
Se allora, adattiamo senza soluzione di continuità nel cerchio ABCD rette uguali alla retta LD, allora risulterà inscritto nel cerchio ABCD un poligono equilatero e con lo stesso numero di lati che non tocca il cerchio minore EFGH.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta BD
- Punto: segna il punto K su di essa
- Circonferenza: disegna le circonferenze di centro K e raggio KE e KB
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare AC alla retta BD
- Segmento: disegna le corde AD e CD
- Punto Medio: segna il punto medio delle due corde
- SemiRetta: disegna le semirette KL, KN che intersecano in L e N il cerchio maggiore
- Segmento: disegna il segmento LN e le corde AD e ND