LIBRO XII
Prop.15: Le basi dei coni e cilindri uguali sono in relazione inversa alle altezze; e quei coni e cilindri le cui basi sono in relazione inversa alle altezze sono uguali
Dimostrazione
Siano coni e cilindri uguali le cui basi siano i cerchi ABCD, EFGH, i loro diametri AC, EG e i loro assi KL, MN che sono anche altezze dei coni o dei cilindri. Si completino i cilindri AO, EP: dico che le basi dei cilindri AO, EP sono in relazione inversa alle altezze, e che la base ABCD sta alla base EFGH come l'altezza MN sta all'altezza KL.
L'altezza LK è infatti o uguale all'altezza MN oppure no. Sia in primo luogo uguale.
Ed anche il cilindro AO è uguale al cilindro EP. Ma coni e cilindri sotto la stessa altezza stanno tra loro come le loro basi (Prop.12-11), pertanto la base ABCD è uguale alla base EFGH. Così che sono in relazione inversa, cioè, la base ABCD sta alla base EFGH come l'altezza MN sta all'altezza KL.
Ma ora l'altezza LK non sia uguale a MN, e sia MN maggiore. E si sottragga QN dall'altezza MN uguale a KL. E per il punto Q sia secato il cilindro EP dal piano TUS parallelo ai piani dei cerchi EFGH, RP. E si eriga il cilindro ES avente per base il cerchio EFGH e per altezza NQ. E poiché il cilindro AO è uguale al cilindro EP, allora il cilindro AO sta al cilindro ES come il cilindro EP sta al cilindro ES (Prop.5-7).
Ma il cilindro AO sta al cilindro ES come la base ABCD sta alla base EFGH, i cilindri AO, ES sono infatti sotto la stessa base (Prop.12-11). E il cilindro EP sta al cilindro ES come l'altezza MN sta all'altezza QN, il cilindro EP è infatto secato da un piano parallelo ai auoi piani opposti (Prop.12-13). La base ABCD sta quindi alla base EFGH come l'altezza MN sta all'altezza QN (Prop.5-11).
Ma l'altezza QN è uguale all'altezza KL, pertanto la base ABCD sta alla base EFGH come l'altezza MN sta all'altezza KL. Nei cilindri AO, EP le basi sono quindi in relazione inversa alle altezze.
Ma ora nei cilindri AO, EP le basi siano in relazione inversa alle altezze, cioè, come la base ABCD sta alla base EFGH, così l'altezza MN stia all'altezza KL: dico che il cilindro AO è uguale al cilindro EP.
Con le stesse costruzioni, poiché la base ABCD sta alla base EFGH come l'altezza MN sta all'altezza KL, e l'altezza KL è uguale all'altezza QN, allora la base ABCD sta alla base EFGH come l'altezza MN sta all'altezza QN. Ma la base ABCD sta alla base EFGH come il cilindro AO sta al cilindro ES, sono infatti sotto la stessa altezza (Prop.12-11). E l'altezza MN sta a QN come il cilindro EP sta al cilindro ES (Prop.12-13), pertanto il cilindro AO sta al cilindro ES come il cilindro EP sta al cilindro ES (Prop.5-11).
Il cilindro AO è quindi uguale al cilindro EP. E lo stesso è vero anche per i coni.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta KN
- Segmento: disegna un segmento che rappresenta la distanza tra i fuochi
- Punto Medio: segna il punto medio K del segmento
- Circonferenza: disegna un circonferenza di centro K e segna su di essa un punto B
- Ellisse: disegna l'ellisse ABC
- ripeti la costruzione per l'ellisse EFG
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta EG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento NQ = LK
- Traslazione: Trasla di un vettore: disegna le ellissi US e RP di vettori NQ e QM
- completa i cilindri e i coni