Elementi di Euclide

Prop.11: Coni e cilindri che sono sotto la stessa altezza stanno tra loro come le basi

Dimostrazione

Siano coni e cilindri sotto la stessa altezza, le cui basi sono i cerchi ABCD, EFGH, gli assi KL, MN e i diametri delle basi siano AC, EG: dico che il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH come il cono AL sta al cono EN.

Se così non è, allora il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH come il cono AL sta a un certo solido minore del cono EN oppure maggiore di esso. Stia in primo luogo come a un solido minore O, e sia il solido X uguale a quello per il quale il solido O risulta è minore del cono EN. Allora il cono EN è uguale alla somma dei solidi O e X.

Si inscriva il quadrato EFGH nel cerchio EFGH (Prop.4-6). Allora il quadrato è maggiore della metà del cerchio (Prop.12-2). Si eriga sul quadrato EFGH una piramide di altezza uguale a quella del cono. Allora la piramide eretta è maggiore della metà del cono, poiché se circoscriviamo un quadrato attorno al cerchio, e su di esso erigiamo una piramide di altezza uguale a quella del cono, allora la piramide inscitta è metà della piramide circoscritta, stanno infatti tra loro come le basi (Prop.12-6), mentre il cono è minore della piramide circoscritta.

Si sechino a metà gli archi EF, FG, GH, HE nei punti P, Q, R, S, e si congiungano HP, PE, EQ, QF, FR, RG, GS, SH. Ognuno dei triangoli HPE, EQF, FRG, GSH è quindi maggiore della metà del corrispondente segmento del cerchio. Si eriga su ognuno dei triangoli HPE, EQF, FRG, GSH una piramide di altezza uguale a quella del cono. Anche ognuna delle piramidi così erette è quindi maggiore della metà del corrispondente segmento del cono.

Secando quindi a metà gli archi rimasti indietro, e congiungendo le rette, erigendo su ogni triangolo piramidi di altezza uguale a quella del cono, e facendo questo in successione, faremo restare fuori certi segmenti del cono che sono minori del solido X (Prop.10-1). Risultino rimasti, e siano i segmenti su HP, PE, EQ, QF, FR, RG, GS, SH. La piramide restante, quella con base il poligono HPEQFRGS e con altezza uguale a quella del cono, è quindi maggiore del solido O.

Inscriviamo ora nel cerchio ABCD il poligono DTAUBVCW simile e similmente posto al poligono HPEQFRGS, e su di esso si eriga una piramide di altezza uguale a quella del cono AL. Poiché allora il quadrato su AC sta al quadrato su EG come il poligono DTAUBVCW sta al poligono HPEQFRGS (Prop.12-1), e il quadrato su AC sta al quadrato su EG come il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH (Prop.12-2), allora il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH come il poligono DTAUBVCW sta al poligono HPEQFRGS.

Ma il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH come il cono AL sta al solido 0, e il poligono DTAUBVCW sta al poligono HPEQFRGS come la piramide con base il poligono DTAUBVCW e vertice in L sta alla piramide con base il poligono HPEQFRGS e vertice N (Prop.12-6). Il cono AL sta quindi al solido O come la piramide con base il poligono DTAUBVCW e vertice L sta alla piramie con base il poligono HPEQFRGS e vertice N. Allora, alternando (Prop.5-16), il cono AL sta alla piramide in esso come il solido O sta alla piramide nel cono EN.

Ma il cono AL è maggiore della piramide in esso, pertanto anche il solido O è maggiore della piramide nel cono EN. Ma è anche minore, il che è assurdo. Pertanto il cono AL non sta ad un certo solido minore del cono EN come il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH. In modo analogo si dimostra che non è nemmeno che il cono EN sta a un certo solido minore del cono AL come il cerchio EFGH sta al cerchio ABCD.

Dico ora che nemmeno il cono AL sta a un certo solido maggiore del cono EN come il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH.

Se infatti possibile, stia in rapporto con un solido maggiore O. Allora, invertendo, il cerchio EFGH sta al cerchio ABCD come il solido O sta al cono AL. Ma il solido O sta al cono AL come il cono EN sta a un certo solido minore del cono AL, pertanto il cerchio EFGH sta al cerchio ABCD come il cono EN sta a un certo solido minore del cono AL, il che è stato dimostrato impossibile.

Il cono AL non sta quindi a un certo solido maggiore del cono EN come il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH. Ma è stato dimostrato che non è nemmeno in quel rapporto con un solido minore, pertanto il cerchio ABCD sta al cerchio EFGH come il cono AL sta al cono EN.

Ma il cono sta al cono come il cilindro sta al cilindro, sono infatti uno triplo dell'altro. Il cerchio ABCD sta quindi al cerchio EFGH come i cilindri su di essi sotto la stessa altezza (Prop.12-10).

Coni e cilindri che sono sotto la stessa altezza stanno quindi tra loro come le basi.

La costruzione con GeoGebra:

• Circonferenza: disegna una circonferenza di centro K a piacere
• Retta: disegna il suo diametro orizzontale
• Perpendicolare: disegna il diametro perpendicolare al precedente
• Intersezione: segna i punti A, B, C, D intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
• Poligono: disegna il quadrato inscritto ABCD
• Perpendicolare: disegna le perpendicolari ai lati dal quadrato passanti per il centro
• Intersezione: segna i punti T, U, V, W, intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
• Poligono: disegna l'ottagono AUBVCWDT
• ripeti la stessa procedura per il secondo cerchio con quadrato EFGH e ottagono EQFRGSHP inscritti
• Semiretta: disegna una semiretta con origine nel centro K
• Segmento: disegna il segmento KL su tale semiretta (altezza del cono)
• Parallela: disegna la parallela per M ad AL
• Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento MN = EGxKL/AC
• Parallela: disegna i solidi O e X