LIBRO XII
Prop.10: Ogni cono è terza parte del cilindro che ha la sua stessa base e altezza uguale
Dimostrazione
Un cono abbia la stessa base, cioè il cerchio ABCD, di un cilindro e la stessa altezza: dico che il cono è terza parte del cilindro, cioè, che il cilindro è il triplo del cono.
Se infatti il cilindro non è triplo del cono, allora il cilindro sarà o maggiore del triplo o minore del triplo del cono. Sia in primo luogo maggiore.
Si inscriva il quadrato ABCD nel cerchio ABCD (Prop.4-6). Allora il quadrato ABCD è maggiore della metà del cerchio ABCD (Prop.12-2). E si eriga sul quadrato ABCD un prisma di uguale altezza del cilindro. Allora il prisma eretto è maggiore della metà del cilindro, poiché se anche circoscriviamo al cerchio ABCD un quadrato (Prop.4-7), il quadrato che risulta inscritto nel cerchio ABCD è metà di quello ad esso circoscritto, e i solidi eretti su di essi sono prismi parallelepipedi id uguale altezza.
E i solidi parallelepipedi sotto la stessa altezza stanno tra loro come le loro basi (Prop.11-32), pertanto anche il prisma eretto sul quadrato ABCD è metà del prisma eretto sul quadrato circoscritto al cerchio ABCD, e il cilindro è minore del prisma eretto sul quadrato circoscritto al cerchio ABCD, pertanto il prisma eretto sul quadrato ABCD e sotto la stessa altezza del cilindro è maggiore della metà del cilindro.
Si sechino a metà gli archi AB, BC, CD, DA nei punti E, F, G, H, e si congiungano AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. Allora ognuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA è maggiore della metà del corrispondente segmento del cerchio ABCD, come dimostrato in precedenza (Prop.12-2).
Su ciascuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA si erigano i prismi di altezza uguale al cilindro. Allora ognuno dei prismi eretti è maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cilindro, poiché appunto se conduciamo per i punti E, F, G, H parallele alle AB, BC, CD, DA (Prop.1-31), e completiamo i parallelogrammi su AB, BC, CD, DA, e su di essi erigiamo solidi parallelepipedi di altezza uguale al cilindro, allora i prismi sui triangoli AEB, BFC, CGD, DHA sono proprio metà di ciascuno dei solidi eretti, a i segmenti del cilindro sono minori dei solidi parallelepipedi eretti: così che anche i prismi sui triangoli AEB, BFC, CGD, DHA sono maggiori della metà dei corrispondenti segmenti del cilindro.
Pertanto, secando a metà gli archi rimasti indietro, congiungendo le rette e erigendo su ciascuno dei triangoli prismi di altezza uguale al cilindro, e facendo questo in successione, faremo restare fuori alcuni segmenti del cilindro che sono minori dell'eccesso con cui il cilindro eccede il triplo del cono (Prop.10-1).
Risultino restati i segmenti e siano AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. pertanto il prisma restante, base del quale è il poligono AEBFCGDH e altezza uguale a quella del cilindro, è maggiore del triplo del cono. Ma il prisma con base il poligono AEBFCGDH e con la stessa altezza del cilindro è il triplo della piramide con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono (Prop.12-7-cor). La piramide con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono è maggiore del cono con base il cerchio ABCD.
Ma è anche minore, è infatti da esso contenuto, il che è impossibile. Il cilindro non è quindi maggiore del triplo del cono.
Dico ora che il cilindro non è neppure minore del triplo del cono.
Se infatti possibile, sil il cilindro minore del triplo del cono. Invertendo quindi il cono è maggiore della terza parte del cilindro. Si inscriva il quadrato ABCD nel cerchio ABCD (Prop.4-6). Il quadrato ABCD è quindi maggiore della metà del cerchio ABCD.
E si eriga sul quadrato ABCD una piramide con lo stesso vertice del cono. La piramide eretta è quindi maggiore della metà del cono, poiché come dimostrato in precedenza, se circoscriviamo un quadrato attorno al cerchio, allora il quadrato ABCD è metà del quadrato circoscritto al cerchio, e se erigiamo sui quadrati solidi parallelepipedi di uguale altezza del cono, che sono anche chiamati prismi, allora il solido eretto sul quadrato ABCD è metà di quello quello eretto sul quadrato circoscritto al cerchio, stanno infatti tra loro come le basi (Prop.11-32).
Così che anche i tripli sono nello stesso rapporto. La piramide con base il quadrato ABCD è quindi metà della piramide eretta sul quadrato circoscritto al cerchio. E la piramide eretta sul quadrato attorno al cerchio è maggiore del cono, infatti lo contiene. La piramide con base il quadrato ABCD e lo stesso vertice del cono è quindi maggiore della metà del cono.
Si sechino a metà gli archi AB, BC, CD, DA nei punti E, F, G, H, e si congiungano AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. Allora ciascuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA è maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cerchio ABCD. E su ognuno dei triangoli AEB, BFC, CGD, DHA siano erette piramidi con lo stesso vertice del cono. Ognuna delle piramidi così erette, è quindi alla stessa maniera maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cono.
Secando pertanto a metà gli archi rimasti indietro, e congiungendo rette e erigendo su ciascuno dei triangoli piramidi con lo stesso vertice del cono, e ripetendo questo in successione, faremo restare fuori certi segmenti del cono, che saranno minori dell'eccesso con cui il cono eccede la terza parte del cilindro (Prop.10-1).
Risultano rimasti, e siano i segmenti su AE, EB, BF, FC, CG, GD, DH, HA. La piramide restante, quella con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono, è maggiore della terza parte del cilindro. Ma la piramide con base il poligono AEBFCGDH e con lo stesso vertice del cono è una terza parte del prisma con base il poligono AEBFCGDH e sotto la stessa altezza del cilindro; pertanto il prisma con base il poligono AEBFCGDH e sotto la stessa altezza del cilindro è maggiore del cilindro con base circolare ABCD.
Ma è anche minore, è infatti da esso contenuto, il che è impossibile. Il cilindro non è quindi minore del triplo del cono. Ma è stato dimostrato che non è neppire maggiore del triplo. Il cilindro è quindi triplo del cono, così che il cono è terza parte del cilindro.
Ogni cono è quindi terza parte del cilindro che ha la sua stessa base e altezza uguale.
La costruzione con GeoGebra:
- Circonferenza: disegna una circonferenza di centro O a piacere
- Retta: disegna il suo diametro orizzontale
- Perpendicolare: disegna il diametro perpendicolare al precedente
- Intersezione: segna i punti A, B, C, D intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
- Poligono: disegna il quadrato inscritto ABCD
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari ai lati dal quadrato passanti per il centro
- Intersezione: segna i punti E, F, G, H intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
- Poligono: disegna l'ottagono AEBFCGDH
Questa proposizione è fondamentale in quanto mette in relazione il volume di un cono con quello di un cilindro circoscritto in modo che tutto ciò che si afferma sul cilindro relativamente ai volumi possa valere anche sui volumi dei coni e viceversa.