Elementi di Euclide

Prop.9: Le basi delle piramidi uguali e che hanno basi triangolari sono in relazione inversa alle altezze; e quelle piramidi che hanno basi triangolari le cui basi sono in relazione inversa alle altezze, sono uguali

Dimostrazione

Siano piramidi uguali, le cui basi sono i triangoli ABC, DEF e vertici i punti G e H: dico che le basi delle piramidi ABCG, DEFH sono in relazione inversa alle altezze, e che la base ABC sta alla base DEF come l'altezza della piramide DEFH sta all'altezza della piramide ABCG.

Si completino i solidi parallelepipedi BGML e EHQP. E poiché la piramide ABCG è uguale alla piramide DEFH, e il solido BGML è sei volte la piramide ABCG, e il solido EHQP sei volte la piramide DEFH, allora il solido BGML è uguale al solido EHQP (Prop.12-7-Cor).

Ma in solidi parallelepipedi uguali le basi sono inversamente proporzionali alle altezze (Prop.11-34), allora la base BM sta alla base EQ come l'altezza de solido EHQP sta all'altezza del solido BGML. Ma la base BM sta a EQ come il triangolo ABC sta al triangolo DEF (Prop.1-34). Il triangolo ABC sta quindi al triangolo DEF come l'altezza del solido EHQP sta all'altezza del solido BGML.

Ma l'altezza del solido EHQP è la stessa dell'altezza della piramide DEFH, e l'altezza del solido BGML è la stessa dell'altezza della piramide ABCG, pertanto la base ABC sta alla base DEF come l'altezza della piramide DEFH sta all'altezza della piramide ABCG. Nelle piramidi ABCG e DEFH le basi sono quindi inversamente proporzionali alle altezze.

Ma ora nelle piramidi ABCG, DEFH le basi siano inversamente proporzionali alle altezze, cioè, come la base ABC sta alla base DEF, così l'altezza della piramide DEFH stia all'altezza della piramide ABCG: dico che la piramide ABCG è uguale alla piramide DEFH.

Con le stesse costruzioni, poiché la base ABC sta alla base DEF come l'altezza della piramide DEFH sta all'altezza della piramide ABCG, mentre la base ABC sta alla base DEF come il parallelogrammo BM sta al parallelogrammo EQ (Prop.5-11), allora il parallelogrammo BM sta al parallelogrammo EQ come l'altezza della piramide DEFH sta all'altezza della piramide ABCG.

Ma l'altezza della piramide DEFH è la stessa dell'altezza del parallelepipedo EHQP, e l'altezza della piramide ABCG è la stessa del parallelepipedo BGML, pertanto la base BM sta alla base EQ come l'altezza del parallelepipedo EHQP sta all'altezza del parallelepipedo BGML. Ma i solidi parallelepipedi le cui basi sono inversamente proporzionali alle altezze sono uguali (Prop.11-34), pertanto il solido parallelepipedo BGML è uguale al solido parallelepipedo EHQP.

E la piramide ABCG è la sesta parte di BGML, e la piramide DEFH la sesta parte del parallelepipedo EHQP, pertanto la piramide ABCG è uguale alla piramide DEFH.

Le basi delle piramidi uguali e che hanno basi triangolari sono in relazione inversa alle altezze; e quelle piramidi che hanno basi triangolari le cui basi sono in relazione inversa alle altezze, sono uguali.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna la retta che contiene BC e EF ed una retta per AG
• Parallele: completa i parallelogrammi di base
• Retta: disegna la retta AB
• Parallele: completa i parallelepipedi
• Segmento: disegna i segmenti AC, GC, FH, DF

Le piramidi con basi triangolari sono un terzo dei prismi con basi triangolari, che non sono disegnate, e i prismi sono la metà dei parallelepipedi. Poiché la proposizione analoga XI.34 vale per i parallelepipedi, questa proposizione vale per le piramidi. Quando una situazione simile si verifica in seguito in cui i coni sono un terzo dei cilindri, Euclide dice semplicemente che lo stesso vale anche per i coni, senza alcun dettaglio. Questa proposizione completa la teoria dei volumi delle piramidi. Le prossime proposizioni trattano la teoria dei volumi di coni e cilindri.