LIBRO XII
Prop.8: Piramidi simili con basi triangolari sono in rapporto triplicato di quello dei lati omologhi
Dimostrazione
Siano piramidi simili e poste similmente, le cui basi sono i triangoli ABC, DEF e vertici i punti G e H: dico che la piramide ABCG ha con la piramide DEFH rapporto triplicato di quello tra BC e EF.
Si completino i solidi parallelepipedi BGML e EHQP. E poiché la piramide ABCG è simile alla piramide DEFH, allora l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF, l'angolo GBC è uguale all'angolo HEF, l'angolo ABG è uguale all'angolo DEH, e AB sta a DE come BC sta a EF, e come BG sta a EH.
E poiché AB sta a DE come BC sta a EF, e intorno agli angoli uguali i lati sono proporzionali, allora il parallelogrammo BM è simile al parallelogrammo EQ. Per gli stessi motivi anche BN è simile a ER, e BR è simile a EO. I tre parallelogrammi MB, BK, BN sono quindi simili ai tre EQ, EO, ER. Ma i tre parallelogrammi MB, BK, BN sono uguali e simili ai loro tre opposti, e i tre EQ, EO, ER sono uguali e simili ai loro tre opposti (Prop.11-24).
I solidi BGML, EHQP sono compresi da piani simili uguali in molteplicità. Pertanto il solido BGML è simile al solido EHQP. Ma solidi parallelepipedi simili stanno nel rapporto triplicato con i loro lati corrispondenti. Pertanto il solido BGML ha con il solido EHQP il rapporto triplicato di quello che il corrispondente lato BC ha con il corrispondente lato EF (Prop.11-33).
Ma il solido BGML sta al solido EHQP come la piramide ABCG sta alla piramide DEFH, la piramide è infatti la sesta parte del solido, poiché anche il prisma che è la metà del solido parallelepipedo (Prop.11-28) è il triplo della piramide. La piramide ABCG ha quindi con la piramide DEFH il rapporto triplicato di quello che BC ha con EF (Prop.12-7).
Corollario: Da questo è pertanto manifesto che anche piramidi simili con basi poligonali stanno tra loro nel rapporto triplicato dei loro lati corrispondenti
Se infatti sono divise nelle piramidi in esse che hanno basi triangolari, anche i poligoni simili delle basi è manifesto che risultano divisi in triangoli uguali e simili in molteplicità e corrispondenti ai totali, e sarà come una sola piramide che ha base triangolare nell'una rispetto a una sola piramide che ha base triangolare nell'altra piramide, cioè la piramide stessa che ha base poligonale rispetto alla piramide che ha base poligonale.
E la piramide che ha base triangolare rispetto a quella che ha base triangolare è in rappporto triplicato di quello dei lati corrispondenti anche quella che ha base poligonale rispetto a quella che ha la base simile ha quindi rapporto triplicato che il lato rispetto al lato.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta che contiene BC e EF ed una retta per AG
- Parallele: completa i parallelogrammi di base
- Retta: disegna la retta AB
- Parallele: completa i parallelepipedi
- Segmento: disegna i segmenti AC, GC, FH, DF