Elementi di Euclide

Prop.7: Ogni prisma con una base triangolare si divide in tre piramidi uguali tra loro con basi triangolari

Dimostrazione

Sia ABCDEF un prisma, la cui base è il triangolo ABC e DEF il suo opposto: dico che il prisma ABCDEF si divide in tre piramidi uguali tra loro che hanno basi triangolari.

Poiché ABED è un parallelogramma, e BD una sua diagonale, allora il triangolo ABD è uguale al triangolo EBD (Prop.1-34). La piramide con base triangolare ABD e vertice C è quindi uguale alla piramide con base triangolare DEB e vertice C (Prop.12-5).

Ma la piramide con base triangolare DEB e vertice C è la stessa della piramide con base triangolare EBD e vertice D, sono infatti comprese dagli stessi piani. La piramide con base triangolare ABD e vertice C è quindi uguale alla piramide con base triangolare EBC e vertice D.

Di nuovo, poiché FCBE è un parallelogrammo, e CE una sua diagonale, allora il triangolo CEF è uguale al triangolo CBE (Prop.1-34). La piramide con base triangolare BCE e vertice D è quindi uguale alla piramide con base triangolare ECF e vertice D (Prop.12-5).

Ma la piramide con base triangolare BCE e vertice D è stata mostrato uguale alla piramide con base triangolare ABD e vertice C, pertanto la piramide con base triangolare CEF e vertice D è uguale alla piramide con base triangolare ABD e vertice C. Il prisma ABCDEF risulta quindi diviso in tre piramidi uguali tra loro con basi triangolari.

E poiché la piramide con base triangolare ABD e vertice C è la stessa della piramide con base triangolare CAB e vertice D, sono infatte comprese dagli stessi piani, mentre la piramide con base triangolare ABD e vertice C è stata mostrata essere un terzo del prisma con base triangolare ABC e DEF come opposta, allora la piramide con base triangolare ABC e vertice D è un terzo del prisma con la stessa base ABC, e DEF come opposta.

Corollario: Ogni piramide è la terza parte del prisma con la stessa base e sotto la stessa altezza

La costruzione con GeoGebra:

• Poligono: disegna il triangolo di base ABC
• Parallele: disegna il triangolo opposto DEF
• Segmento: disegna i segmenti EB, CF, AD, CE CD

La dimostrazione di questa proposizione è più facile di quanto sembri. I triangoli ABD, EBD sono uguali poiché ciascuno è la metà del parallelogramma ABED. Ora, poiché le piramidi ABDC, DEBC hanno basi uguali e la stessa altezza, per la XII.5, sono piramidi uguali. Un argomento simile mostra che le piramidi BCED, ECFD sono uguali. Ma DEBC, BCED sono la stessa piramide con lettere diverse. Quindi il prisma è diviso in tre piramidi uguali.