LIBRO XII
Prop.5: Le piramidi che sono sotto la stessa altezza con basi triangolari stanno tra loro come le basi
Dimostrazione
Siano piramidi sotto la stessa altezza e aventi basi triangolari ABC e DEF e siano G, H i vertici: dico che la base ABC sta alla base DEF come la piramide ABCG sta alla piramide DEFH.
Se infatti la piramide ABCG non sta alla piramide DEFH come la base ABC sta alla base DEF, allora la base ABC sta alla base DEF come la piramide ABCG sta a un certo solido minore della piramide DEFH o a uno maggiore.
Stia in primo luogo rispetto a uno minore W. Si divida la piramide DEFH in due piramidi uguale tra loro e simili a quella totale e in due prismi uguali. Allora i due prismi sono maggiori della metà della piramide totale (Prop.12-3). Di nuovo, si dividano similmente le piramidi che si formano dalla divisione, e questo sia fatto in successione finché dalla piramide DEFH riamngano certe piramidi che sono minori dell'eccesso con cui la piramide DEFH eccede il solido W (Prop.10-1).
Risultino rimaste e siano per definitezza d'argomento, DQRS e STUH. Allora i prismi restanti nella piramide DEFH, sono maggiori del solido W. Si divida similmente la piramide ABCG, e uno stesso numero di volte. La base ABC sta quindi alla base DEF come i prismi nella piramide ABCG stanno ai prismi nella piramide DEFH (Prop.12-4).
Ma la base ABC sta alla base DEF come la piramide ABCG sta al solido W, pertanto la piramide ABCG sta al solido W come i prismi nella piramide ABCG stanno ai prismi nella piramide DEFH (Prop.5-11). Allora, alternando, la piramide ABCG sta ai prismi in essa come il solido W sta ai prismi nella piramide DEFH (Prop.5-16). Ma la piramide ABCG è maggiore dei prismi in essa, pertanto anche il solido W è maggiore dei prismi nella piramide DEFH. Ma è anche minore, il che è impossibile.
Il prisma ABCG non sta quindi a un certo solido minore della piramide DEFH come la base ABC sta alla base DEF. Allo stesso modo si dimostra che neanche la base DEF sta alla base ABC come la piramide DEFH sta a un certo solido minore della piramide ABCG.
Dico ora che non è neanche che la base ABC sta alla base DEF come la piramide ABCG sta a un certo solido maggiore della piramide DEFH.
Se infatti possibile, stia rispetto a uno maggiore W. Pertanto, invertendo (Prop.5-7), la base DEF sta alla base ABC come il solido W sta alla piramide ABCG. Ma è stato dimostrato prima (Prop.12-2) che il solido W sta al solido ABCG come la piramide DEFH sta a un certo solido minore della piramide ABCG. Allora la base DEF sta alla base ABC come la piramide DEFH sta a un certo solido minore della piramide ABCG, il che è stato dimostrato assurdo.
La piramide ABCG non sta quindi a un certo solido maggiore della piramide DEFH come la base ABC sta alla base DEF. Ma è stato dimostrato che neanche sta in quel rapporto a un solido minore. La base ABC sta quindi alla base DEF come la piramide ABCG sta alla piramide DEFH.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo di base ABC
- Punto: segna il vertice D
- Punto Medio: disegna i punti medi di tutti gli spigoli della piramide
- Segmento: disegna i segmenti come nella figura
- Parallele: disegna il solido W