Elementi di Euclide

Prop.12: Coni e cilindri simili sono tra loro in rapporto triplicato di quello dei diametri delle loro basi

Dimostrazione

Siano coni e cilindri simili, le cui basi sono i cerchi ABCD, EFGH, diametri delle basi siano BD, FH e assi dei coni e dei cilindri KL, MN: dico che il cono con base il cerchio ABCD e vertice in L ha con il cono con base il cerchio EFGH e vertice in N il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH.

Se infatti il cono ABCDL non ha con il cono EFGHN il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH, allora il cono ABCDL ha quel rapporto triplicato o con un certo solido minore del cono EFGHN o con uno maggiore. Lo abbia in primo luogo con un solido minore O. Si inscriva il quadrato EFGH nel cerchio EFGH (Prop.4-6). Allora il quadrato EFGH è maggiore della metà del cerchio EFGH.

Si eriga sul quadrato EFGH una piramide con lo stesso vertice del cono. La piramide eretta è quindi maggiore della parte metà del cono. Si sechino a metà gli archi EF, FG, GH, HE nei punti P, Q, R, S, e si congiungano EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS, SE. Anche ognuno dei triangoli EPF, FQG, GRH, HSE è maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cerchio EFGH.

Si eriga ora su ciascuno dei triangoli EPF, FQG, GRH, HSE una piramide con lo stesso vertice del cono. Anche ognuna delle piramidi erette è quindi maggiore della parte metà del corrispondente segmento del cono. Pertanto, secando a metà gli archi rimasti, congiungendo le rette, erigendo su ognuno dei triangoli piramidi con lo stesso vertice del cono, e facendo questo in successione, faremo restare fuori certi segmenti del cono che sono minori dell'eccesso con cui il cono EFGHN eccede il solido O (Prop.10-1).

Risultino rimasti, e siano quelli su EP, PF, FQ, QG, GR, RH, HS, SE. La piramide restante, con base il poligono EPFQGRHS e vertice in N, è quindi maggiore del solido O. Si inscriva ora nel cerchio ABCD il poligono ATBUCVDW simile e similmente posto al poligono EFGH, e si eriga sul poligono ATBUCVDW una piramide con lo stesso vertice del cono.

E sia un solo triangoli LBT di quelli che comprendono la piramide con base il poligono ATBUCVDW e vertice in L, e sia un solo triangolo NFP di quelli che comprendono la piramide con base il poligono EFGH e vertice in N e si congiungano KT e MP.

E poiché il cono ABCDL è simile al cono EFGHN, allora BD sta a FH come l'asse KL sta all'asse MN (Def.11-24). Ma BD sta a FH come BK sta a FM, pertanto BK sta a FM come KL sta a MN. E, alternando (Prop.5-16), BK sta a KL come FM sta a MN. E intorno ad angoli uguali i lati BKL e FMN sono in proporzione, pertanto il triangolo BKL è simile al triangolo FMN (Prop.6-6).

Di nuovo, poiché BK sta a KT come FM sta a MP, ed essi sono intorno ad angoli uguali, cioè gli angoli BKT e FMP, poiché appunto che parte è l'angolo BKT dei quattro angoli retti sul centro K, è la stessa parte dell'angolo FMP dei quattro retti sul centro M. Allora, poiché introno ai lati uguali i lati sono in proporzione, allora il triangolo BKT è simile al triangolo FMP (Prop.6-6).

Di nuovo, poiché è stato dimostrato che BK sta a KL come FM sta a MN, mentre BK è uguale a KT, e FM è uguale a PM, allora TK sta a KL come PM sta a MN. E i lati attorno ad angoli uguali sono in proporzione, cioè gli angoli TKL e PMN, sono infatti retti, pertanto il triangolo LKT è simile al triangolo NMP (Prop.6-6).

E poiché i triangoli LKB e NMF sono simili, allora LB sta a BK come NF sta a FM. E poiché i triangoli BKT e FMP sono simili, allora KB sta a BT come MF sta a FP. Pertanto, tramite uguale, LB sta a BT come NF sta a FP (Prop.6-6). Di nuovo, poiché i triangoli LTK e NPM sono simili, allora LT sta a TK come NP sta a PM, e poiché i triangoli TKB e PMF sono simili, allora KT sta a TB come MP sta a PF. Pertanto, tramite uguale, LT sta a TB come NP sta a PF (Prop.6-6).

Ma è stato dimostrato che TB sta a BL come PF sta a FN. Pertanto, tramite uguale, TL sta a LB come PN sta a NF (Prop.5-22). Nei triangoli LTB e NPF i lati sono quindi in proporzione. I triangoli LTB e NPF sono quindi equiangoli, così che sono simili (Prop.6-5). La piramide con base il triangolo BKT e vertice in L è simile alla piramide con base il triangolo FMP e vertice in N, sono infatti compresi da piani simili e uguali in molteplicità (Def.11-9).

Ma piramidi simili con basi triangolari stanno tra loro nel rapporto triplicato dei loro lati corrispondenti (Prop.12-8). La piramide BKTL ha quindi con la piramide FMPN il rapporto triplicati di quello che BK ha con FM. Analogamente, congiungendo rette da A, W, D, V, C, U a K, e da E, S, H, R, G, Q a M, ed erigendo su ognuno dei triangoli piramidi con lo stesso vertice dei coni, si può dimostrare che anche ognuna delle piramidi similmente disposte ha con ognuna delle piramidi similmente disposte il rapporto triplicato di quello che il corrispondente lato BK ha con il corrispondente lato FM, cioè, che BD ha con FH.

E uno degli antecedenti sta a uno dei conseguenti come tutti gli antecedenti stanno a tutti i conseguenti (Prop.5-12), pertanto la piramide BKTL sta alla piramide FMPN come la piramide totale con base il poligono ATBUCVDW e vertice L sta alla piramide totale con base il poligono EPFQGRHS e vertice N, così che la piramide con base ATBUCVDW e vertice L ha con la piramide con base il poligono EPFQGRHS e vertice in N il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH.

Ma è stato supposto che anche il cono con base il cerchio ABCD e vertice L ha con il solido O il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH, pertanto il cono con base il cerchio ABCD e vertice L sta al solido O come la piramide con base il poligono ATBUCVDW e vertice in L sta alla piramide con base il poligono EPFQGRHS e vertice in N. Pertanto, alternando (Prop.5-16), il cono con base il cerchio ABCD e vertice in L sta alla piramide contenuta in esso con base il poligono ATBUCVDW e vertice L come il solido O sta alla piramide con base il poligono EPFQGRHS e verticx N.

Ma il suddetto cono è maggiore della piramide in esso, perché è contenuta in esso. Anche il solido O è quindi maggiore della piramide con base il poligono EPFQGRHS e vertice N. Ma è anche minore, il che è impossibile. Il cono con base il cerchio ABCD e vertice L non ha quindi con un certo solido minore del cono con base il cerchio EFGH e vertice N il rapporto triplicato di quello di che BD ha con FH.

Analogamente si può dimostrare che neanche il cono EFGHN ha con un certo solido minore del cono ABCDL il rapporto triplicate di quello che FH ha con BD. Dico ora che neanche il cono ABCDL ha con un certo solido maggiore del cono EFGHN il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH.

Se infatti possibile, lo abbia con un solido maggiore O. Pertanto, invertendo, il solido O ha con il cono ABCDL il rapporto triplicato di quello che FH ha con BD. Ma il solido O sta al cono ABCDL come il cono EFGHN sta a un certo solido minore del cono ABCDL. Anche il cono EFGHN ha con un certo solido minore del cono ABCDL il rapporto triplicato di quello che FH ha con BD, il che è stato dimostrato impossibile.

Il cono ABCDL non ha quindi con un certo solido maggiore del cono EFGHN il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH. Ma è stato dimostrato che neanche con il solido minore del cono EFGHN. Il cono ABCDL ha quindi con il cono EFGHN il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH. Ma il cono sta al cono come il cilindro sta al cilindro, il cilindro sulla stessa base del cono e di uguale altezza è infatti triplo del cono (Prop.12-10). Anche il cilindro ha con il cilindro il rapporto triplicato di quello che BD ha con FH.

Coni e cilindri simili sono quindi tra loro in rapporto triplicato di quello dei diametri delle loro basi.

La costruzione con GeoGebra:

• Circonferenza: disegna una circonferenza di centro K a piacere
• Retta: disegna il suo diametro orizzontale
• Perpendicolare: disegna il diametro perpendicolare al precedente
• Intersezione: segna i punti A, B, C, D intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
• Poligono: disegna il quadrato inscritto ABCD
• Perpendicolare: disegna le perpendicolari ai lati dal quadrato passanti per il centro
• Intersezione: segna i punti T, U, V, W, intersezione tra le perpendicolari e la circonferenza
• Poligono: disegna l'ottagono AUBVCWDT
• ripeti la stessa procedura per il secondo cerchio con quadrato EFGH e ottagono EQFRGSHP inscritti
• Semiretta: disegna una semiretta con origine nel centro K
• Segmento: disegna il segmento KL su tale semiretta (altezza del cono)
• Semiretta: disegna una semiretta con origine nel centro M
• Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento MN = BDxFH/LK
• Parallela: disegna il solido O