LIBRO XII
Prop.14: Coni e cilindri che sono su basi uguali stanno tra loro come le altezze
Dimostrazione
Siano i cilindri EB, FD su basi uguali, cioè i cerchi AB, CD: dico che il cilindro EB sta al cilindro FD come l'asse GH sta all'asse KL.
Si prolunghi l'asse KL fino al punto N, si prenda LN uguale all'asse GH, e si costruisca il cilindro CM intorno all'asse LN. Allora, poiché i cilindri EB, CM sono sotto la stessa altezza, stanno tra loro come le basi (Prop.12-11). E le basi sono uguali tra loro, pertanto anche i cilindri EB, CM sono uguali.
E poiché il cilindro FM è stato secato dal piano CD parallelo ai suoi lati opposti, allora il cilindro CM sta al cilindro FD come l'asse LN sta all'asse KL (Prop.12-13). Ma il cilindro CM è uguale al cilindro EB, e l'asse LN è uguale all'asse GH, pertanto il cilindro EB sta al cilindro FD come l'asse GH sta all'asse KL.
Ma il cilindro EB sta al cilindro FD come il cono ABG sta al cono CDK. Pertanto l'asse GH sta all'asse KL come il cono ABG sta al cono CDK e come il cilindro EB sta al cilindro FD.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta HN
- Segmento: disegna un segmento che rappresenta la distanza tra i fuochi
- Punto Medio: segna il punto medio H del segmento
- Circonferenza: disegna un circonferenza di centro H e segna su di essa un punto
- Ellisse: disegna l'ellisse AB
- ripeti la costruzione per l'ellisse NM
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare alla retta HN e prendi su di essa un segmento AE
- ripeti la costruzione per l'altro cilindro
- ripeti la costruzione per gli ellissi EG e CD
- Segmento: disegna il segmento LK sulla perpendicolare NL
- ripeti la costruzione per l'ellisse con centro in K
- Segmento: disegna i segmenti AG, BG, CK, DK per ottenere i coni