LIBRO XI
Prop.19: Se due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano
Dimostrazione
Siano due piani AB, BC siano ad angoli retti con il piano di riferimento, e sia BD la loro sezione comune: dico che BD è ad angoli retti con il piano di riferimento.
Supponiamo che non sia vero. Dal punto D si conduca DE ad angoli retti con la retta AD nel piano AB, e si conduca DF ad angoli retti con CD nel piano BC (Prop.1-11).
E poiché il piano AB è ad angoli retti con il piano di riferimento, e DE è ad angoli retti con AD nel piano AB, la loro intersezione, allora DE è ad angoli retti con il piano di riferimento (Def.11-4). Analogamente si dimostra che anche DF è ad angoli retti con il piano di riferimento.
Pertanto dallo stesso punto D sono state poste ad angoli retti con il piano di riferimento due rette dalla stessa parte, il che è impossibile (Prop.11-13). Nessuna retta quindi tranne l'intersezione DB dei piani AB e BC può essere posta dal punto D ad angoli retti con il piano di riferimento.
Se quindi due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Punto: segna due punti A e C sul lato inferiore del piano di riferimento
- Retta: disegna due rette nel piano una per A e l'altra per C, si intersecano in D
- Perpendicolare: disegna il segmento BD perpendicolare al piano
- Parallela: completa i piani AB e BC, la cui intersezione è BD
- Segmento: disegna i segmenti DE e DF
Questa proposizione non è più usata.