LIBRO X - Terza Parte
Prop.113: Il quadrato su una razionale, se applicato ad una apotome, produce come larghezza una binomiale i cui termini sono commensurabili con quelli dell'apotome e nello stesso rapporto; e inoltre la binomiale risultante ha lo stesso ordine dell'apotome
Dimostrazione
Sia A una razionale, BD una apotome e sia il rettangolo BD per KH uguale al quadrato su A, così che il quadrato sulla razionale A applicato alla apotome BD produca KH come larghezza: dico che KH è binomiale, i cui termini sono commensurabili con i termini di BD e nello stesso rapporto, e ancora, KH ha lo stesso ordine di BD.
Sia DC la retta che si adatta a BD. Allora BC e CD sono razionali commensurabile soltanto in potenza. Sia anche il rettangolo BC per G uguale al quadrato su A (Prop.10-73). Ma il quadrato su A è razionale, anche il rettangolo BC per G è quindi razionale. Ed è stato applicato alla razionale BC, pertanto G è razionale e commensurabile in lunghezza con BC (Prop.10-20).
E poiché il rettangolo BC per G è uguale al rettangolo BD per KH, allora, CB sta a BD come KH sta a G (Prop.5-14). Ma BC è maggiore di BD, pertanto anche KH è maggiore di G (Prop.6-16). Si ponga KE uguale a G. KE è quindi commensurabile in lunghezza con BC.
Poiché CB sta a BD come HK sta a KE, allora, convertendo (Prop.5-19-Cor), BC sta a BD come KH sta a HE. Risulti essere che KH sta a HE come HF sta a FE. Allora anche KF restante sta a FH come KH sta a HE, cioè come BC sta a CD (Prop.5-19).
Ma BC e CD sono commensurabili soltanto in potenza, anche KF e FH sono quindi commensurabili soltanto in potenza (Prop.5-11). Poiché KH sta a HE come KF sta a FH, ma KH sta a HE come HF a FE, pertanto KF sta a FH come HF sta a FE, così come anche il primo sta al terzo come il quadrato sul primo sta al quadrato sul secondo. KF sta quindi a FE come il quadrato su KF sta al quadrato su FH (Prop.5-11).
Ma il quadrato su KF è commensurabile con il quadrato su FH, KF e FH sono infatti commensurabili in potenza, anche KF è quindi commensurabile in lunghezza con FE (Prop.10-11), così come anche KF è commensurabile in lunghezza con KE (Prop.10-15). Ma KE è razionale e commensurabile in lunghezza con BC, anche KF è quindi razionale e commensurabile in lunghezza con BC (Prop.10-12).
Poiché BC sta a CD come KF sta a FH, alternando (Prop.5-16), BC sta a KF come DC sta a FH. Ma BC è commensurabile con KF, anche FH è quindi commensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-11). Ma BC e CD sono razionali commensurabili soltanto in potenza, anche KF e FH sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-36). KH è quindi binomiale (Def.10-3).
Se il quadrato su BC è maggiore del quadrato su CD per il quadrato su una retta commensurabile con BC, allora anche il quadrato su KF è maggiore del quadrato su FH per il quadrato su una retta commensurabile con KF (Prop.10-14).
E se BC è commensurabile in lunghezza con la razionale fissata, allora lo è anche KF; e se CD è commensurabile in lunghezza con la razionale, allora lo è anche FH; ma, se né l'una né l'altra delle rette BC e CD, allora nemmeno KF e FH lo sono. Ma, se il quadrato su BC è maggiore del quadrato su CD per il quadrato su una retta incommensurabile con BC, allora anche il quadrato su KF è maggiore del quadrato su FH per il quadrato su una retta incommensurabile con KF (Prop.10-14).
E se BC è commensurabile con la razionale fissata, allora lo è anche KF; se lo è CD, allora lo è anche FH; ma, se né l'una né l'altra delle rette BC e CD lo è, allora nemmeno le rette KF e FH lo sono. KH è quindi una binomiale, i cui termini KF e FH sono commensurabili con i termini BC e CD della apotome e nello stesso rapporto, e ancora, KH è dello stesso ordine di BD.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, BD
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento KH= AxA/BD
- Segmento: disegna il segmento DC (adiacente a BD)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento G= AxA/BC e KE = G
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HF= (HExKH/(KH+HE)