LIBRO X - Terza Parte
Prop.114: Se un'area è compresa da una apotome e da una binomiale i cui termini sono commensurabili con quelli dell'apotome e nello stesso rapporto, allora il lato dell'area è razionale
Dimostrazione
Sia un'area, il rettangolo AB per CD, compreso dall'apotome AB e dalla binomiale CD, della quale CE sia il termine maggiore, e siano CE e ED i termini della binomiale commensurabili con il termini AF e FB dell'apotome e nello stesso rapporto, e sia G il lato del rettangolo AB per CD: dico che G è razionale.
Sia fissata una razionale H, e uguale al quadrato su H sia applicato a CD un rettangolo che produce KL come larghezza. Allora KL è una apotome. I suoi termini KM e ML siano commensurabili con i termini CE e ED della binomiale e nello stesso rapporto (Prop.10-112).
Ma anche CE e ED sono commensurabili con AF e FB e nello stesso rapporto, pertanto AF sta a FB come KM sta a ML. Alternando (Prop.5-19), AF sta a KM come BF sta a LM. AB restante sta quindi a KL restante come AF sta a KM. Ma AF è commensurabile con KM (Prop.10-12), anche AB è quindi commensurabile con KL (Prop.10-11).
E AB sta a KL come il rettangolo CD per AB sta al rettangolo CD per KL, pertanto anche il rettangolo CD per AB è commensurabile con il rettangolo CD per KL (Prop.10-11). Ma il rettangolo CD per KL è uguale al quadrato su H, pertanto il rettangolo CD per AB è commensurabile con il quadrato su H.
Ma il quadrato su G è uguale al rettangolo CD per AB, pertanto il quadrato su G è commensurabile con il quadrato su H. Ma il quadrato su H è razionale, anche il quadrato su G è quindi razionale. G è quindi razionale. Ed è il lato del rettangolo CD per AB.
Se quindi un'area è compresa da una apotome e da una binomiale i cui termini sono commensurabili con quelli dell'apotome e nello stesso rapporto, allora il lato dell'area è razionale.
Corollario: E ci risulta anche per questo manifesto che è possibile per un'area razionale essere compresa da rette irrazionali.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB, CD, H
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento G = sqrt(CDxAB)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento KL= HxH/CD
- Punto: traccia il punto E appartenente a CD e disegna i segmenti CE e ED
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FB= ABxED/(CE-ED)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento LM= KLxFB/AB