LIBRO X - Terza Parte
Prop.115: Da una mediale risultano illimitate rette irrazionali, e nessuna di esse è la stessa di nessuna di quelle di prima
Dimostrazione
Sia A una mediale: dico che da A risultano illimitate irrazionali, e nessuna è la stessa di nessuna di quelle di prima.
Sia fissata una razionale B, e sia il quadrato su C uguale al rettangolo B per A. Allora C è irrazionale, quello da una irrazionale e da una razionale è infatti irrazionale (Def.10-4). E non è la stessa di nessuna di quelle di prima, infatti il quadrato su nessuna di quelle di prima, se applicato ad una razionale produce come larghezza una mediale.
Di nuovo, sia il quadrato su D uguale al rettangolo B per C. Allora il quadrato su D è irrazionale (Prop.10-20). D è quindi irrazionale, e non è lo stessa di nessuna di quelle di prima, infatti il quadrato su nessuna di quelle di prima, se applicato ad una razionale, produce C come larghezza (Def.10-4).
Analogamente, proseguendo un tale ordine illimitatamente, è manifesto che da una mediale risultano illimitate irrazionali, e nessuna è la stessa di quelle di prima.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento C = sqrt(AxB)
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento D= sqrt(BxC)