Elementi di Euclide

Prop.112: Il quadrato su una razionale applicato ad una binomiale produce come larghezza una apotome, i cui termini sono commensurabili con quelli della binomiale e ancora nello stesso rapporto; e inoltre l'apotome risultante ha lo stesso ordine della binomiale

Dimostrazione

Sia A una razionale, BC una binomiale, il cui termine maggiore sia DC, e sia il rettangolo BC per EF uguale al quadrato su A: dico che EF è apotome, i cui termini sono commensurabili con CD e DB, e nello stesso rapporto, e ancora, EF ha lo stesso ordine di BC.

Di nuovo, sia il rettangolo BD per G uguale al quadrato su A.

Poiché, dunque, il rettangolo BC per EF è uguale al rettangolo BD per G, allora CB sta a BD come G sta a EF (Prop.6-16). Ma CB è maggiore di BD, anche G è quindi maggiore di EF (Prop.5-14). Sia EH uguale a G. Allora CB sta a BD come HE sta a EF, pertanto, scomponendo, CD sta a BD come HF sta a FE (Prop.5-17).

Risulti essere che HF sta a FE come FK sta a KE. Allora HK totale sta a KF totale come FK sta a KE, come, infatti, uno solo degli antecedenti sta a uno solo dei conseguenti così la somma degli antecedenti sta alla somma dei consequenti (Prop.5-12). Ma FK sta a KE come CD sta a DB, pertanto HK sta a KF come CD sta a DB (Prop.5-11).

Ma il quadrato su CD è commensurabile con il quadrato su DB, essendo DC e BD i due termini di una binomiale (Prop.10-36), pertanto il quadrato su HK è commensurabile con il quadrato su KF (Prop.6-22, Prop.10-11). Ma il quadrato su HK sta al quadrato su KF come HK sta a KE, poiché le tre rette HK, KF, KE sono in proporzione. HK è quindi commensurabile in lunghezza con KE, così che anche HE è commensurabile in lunghezza con EK (Def.5-9, Prop.10-15).

E poiché il quadrato su A è uguale al rettangolo EH per BD, e il quadrato su A è razionale, allora anche il rettangolo EH per BD è razionale. Ed è applicato alla razionale BD, pertanto EH è razionale e commensurabile in lunghezza con BD, così che EK, essendo commensurabile con esso, è anche razionale e commensurabile in lunghezza con BD (Prop.10-20).

Poiché, quindi, CD sta a DB come FK sta a KE, e CD e DB sono commensurabili soltanto in potenza, allora anche FK e KE sono commensurabili soltanto in potenza. Ma KE è razionale, anche FK è quindi razionale (Prop.10-11). FK e KE sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza; EF è quindi una apotome (Prop.10-73).

Il quadrato su CD è maggiore del quadrato su DB o per il quadrato su una retta commensurabile con CD oppure per il quadrato su una retta incommensurabile con essa.

Se il quadrato su CD è maggiore del quadrato su DB per il quadrato su una retta commensurabile con CD, allora anche il quadrato su FK è maggiore del quadrato su KE per il quadrato su una retta commensurabile con FK (Prop.10-14).

E se CD è commensurabile in lunghezza con la razionale fissata, allora lo è anche FK; e se BD lo è, allora anche KE (Prop.10-11); ma, se né l'una né l'altra delle rette CD e DB è commensurable, allora nemmeno FK e KE lo sono (Prop.10-12). Ma se il quadrato su CD è maggiore del quadrato su DB per il quadrato su una retta incommensurabile con CD, allora anche il quadrato su FK è maggiore del quadrato su KE per il quadrato su una retta incommensurabile con FK (Prop.10-14).

E se CD è commensurabile con la razionale fissata, allora lo è anche FK; se lo è BD, allora lo è anche KE; ma, se né l'una né l'altra delle rette CD e DB è commensurabile, allora nemmeno le rette FK e KE lo sono, così che FE è una apotome, i cui termini, FK e KE, sono commensurabili con i termini CD e DB della binomiale e nello stesso rapporto, e è la stessa in ordine di BC.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti A, BC e CD
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EF = BC/A
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento G= AxA/BD e EH = G
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento KE= FExFE/(HF-FE)