Elementi di Euclide

Prop.111: L'apotome non è la stessa di una binomiale

Dimostrazione

Sia AB una apotome: dico che AB non è la stessa di una binomiale.

Se infatti possibile, lo sia. Si fissi una razionale DC, e si applichi a CD il rettangolo CE uguale al quadrato su AB e che produce DE come larghezza. Allora, poiché AB è una apotome, DE è una apotome prima (Prop.10-97).

Sia EF quella che si adatta ad essa. Allora DF e FE sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, il quadrato su DF è maggiore del quadrato su FE per il quadrato su una retta commensurabile con DF, e DF è commensurabile in lunghezza con la razionale DC fissata.

Di nuovo, poiché AB è binomiale, allora DE è una binomiale prima (Prop.10-60). Sia divisa nei suoi termini in G, e sia DG quello maggiore. Allora DG e GE sono razionali commensurabili soltanto in potenza, il quadrato su DG è maggiore del quadrato su GE per il quadrato su una retta commensurabile con DG, e il termine maggiore DG è commensurabile in lunghezza con la razionale DC fissata.

Anche DF è quindi commensurabile in lunghezza con DG. Anche GF restante è quindi commensurabile in lunghezza con DF (Prop.10-12). Poiché quindi DF è commensurabile con GF e DF è razionale, anche GF è razionale. Poiché DF è commensurabile in lunghezza con GF e DF è incommensurable in lunghezza con EF, allora anche FG è incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-13).

GF e FE sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza; EG è quindi una apotome (Prop.10-73). Ma è anche razionale: il che è impossibile.

Una apotome non è quindi la stessa di una binomiale.

Corollario: Una apotome e le irrazionali dopo di essa non sono né le stesse né di una mediale né tra loro.

Il quadrato su una mediale, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una retta razionale e incommensurabile in lunghezza con quella a cui risulta applicata (Prop.10-22), e il quadrato su una apotome, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una apotome (Prop.10-97), il quadrato su una apotome prima di una mediale, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una apotome seconda (Prop.10-98), il quadrato su una apotome seconda di una mediale, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una apotome terza (Prop.10-99), il quadrato su una minore, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una apotome quarta (Prop.10-100), il quadrato su una retta che produce con un'area razionale un totale mediale, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una apotome quinta (Prop.10-101), e il quadrato su una retta che produce con un'area mediale un totale mediale, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una apotome sesta (Prop.10-102).

Poiché le dette larghezze differiscono sia dalla prima che tra loro, dalla prima, in quanto è razionale, e fra loro, poiché non sono le stesse in ordine, è chiaro che anche le irrazionali stesse differiscono tra loro. Poiché l'apotome è stata dimostrata non essere la stessa di una binomiale, ma, se applicate le irrazionali dopo l'apotome applicate ad una razionale producono come larghezze apotomi ciascuna in modo conseguente al loro ordine, quelle dopo l'apotome e quelle dopo la binomiale sono quindi differenti, in modo da essere, in ordine, tredici irrazionali in tutto:

Mediale - Binomiale - Bimediale prima - Bimediale seconda - Maggiore - Lato di una razionale più un'area mediale - Lato della somma di due aree mediali - Apotome - Apotome prima di una mediale - Apotome seconda di una mediale - Retta che con un'area razionale fa il totale mediale - Retta che con un'area mediale fa il totale mediale.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB e AC appartenenti a due rette perpendicolari
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a CD per D
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DE = ABxAB/CD
• Perpendicolare: completa il rettangolo CE
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EF = (CDxCD-DExDE)/2xDE
• Punto Medio: traccia il punto medio, G, del segmento DF (si dimostra la non esistenza del punto G, per cui non è possibile disegnarlo)