Elementi di Euclide

Prop.110: Se da un'area mediale è sottratta un'area mediale incommensurabile con il totale, allora le due rette restanti risultano irrazionali, o una apotome seconda di una mediale o una retta che produce con un'area mediale un totale mediale

Dimostrazione

Si sottragga come nelle figure proposte, un'area mediale BD incommensurabile con l'area totale BC: dico che il lato della restante EC risulta una sola delle due rette irrazionali, o una apotome seconda di una mediale o una retta che produce con un'area mediale una totale mediale.

Poiché uno e l'altro dei rettangoli BC e BD è mediale, e BC è incommensurabile con BD, in modo conseguente una e l'altra delle rette FH e FK è razionale e incommensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-22). Poiché BC è incommensurabile con BD, cioè, GH con GK, anche HF è quindi incommensurabile con FK (Prop.10-11). FH e FK sono quindi rette razionali commensurabile soltanto in potenza. KH è quindi una apotome (Prop.10-73).

Se il quadrato su FH è maggiore del quadrato su FK per il quadrato su una retta commensurabile con FH, mentre né l'una né l'altra delle rette FH e FK è commensurabile in lunghezza con la retta razionale FG fissata, allora KH è una apotome terza.

Ma KL è razionale, e il rettangolo compreso dalla retta razionale e da una apotome terza è irrazionale, e il suo lato è irrazionale, ed è chiamato apotome seconda di una mediale, così che il lato di LH, cioè, di EC, è una apotome seconda di una mediale (Prop.10-93).

Ma, se il quadrato su FH è maggiore del quadrato su FK per il quadrato su una retta incommensurabile con HF, mentre né l'una né l'altra delle rette HF e FK è commensurabile in lunghezza con la razionale FG fissata, allora KH è una apotome sesta.

Ma il lato del rettangolo compreso da una razionale e da una apotome sesta è una retta che produce con un'area mediale un totale mediale (Prop.10-96). Il lato di LH, cioè, di EC, è quindi una retta che produce con un'area mediale un totale mediale.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB e AC perpendicolari tra loro
• Perpendicolare: completa il rettangolo BC
• Segmento: disegna il segmento EB, con E interno ad AB
• Perpendicolare: completa il rettangolo BD
• Segmento: disegna il segmento FG
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a FG per F
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FH = ABxAC/GF
• Perpendicolare: completa il rettangolo GH
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FK = BExAC/GF
• Perpendicolare: completa il rettangolo GK