LIBRO X - Terza Parte
Prop.109: Se da un'area mediale è sottratta un'area razionale, allora risultano altre due rette irrazionali, o una apotome prima di una mediale o una retta che produce con un'area razionale una totale mediale
Dimostrazione
Si sottragga un'area razionale BD da un'area mediale BC: dico che il lato della restante EC risulta una sola delle due rette irrazionali, o una apotome prima di una mediale o una retta che produce con un'area razionale una totale mediale.
Sia fissata una retta razionale FG, e ad FG si appplichino similmente le aree. E in modo conseguente pertanto FH è razionale e incommensurabile in lunghezza con FG, mentre KF è razionale e commensurabile in lunghezza con FG; FH e FK sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-13).
KH è quindi una apotome, e FK quella che le si adatta (Prop.10-73). Ma il quadrato su HF è maggiore del quadrato su FK o per il quadrato su una retta commensurabile con HF o per il quadrato su una retta incommensurable con essa.
Se il quadrato su HF è maggiore del quadrato su FK per il quadrato su una retta commensurabile con HF, mentre quella che è applicata FK è commensurabile in lunghezza con la retta razionale FG fissata, allora KH è una apotome seconda. Ma FG è razionale, così che il lato di LH, cioè, di EC, è una apotome prima di una mediale (Prop.10-92).
Ma, se il quadrato su HF è maggiore del quadrato su FK per il quadrato su una retta incommensurabile con HF, mentre quella che si adatta FK è commensurabile in lunghezza con la razionale FG fissata, allora KH è una apotome quinta, così che il lato di EC è una retta che produce con un'area razionale una totale mediale (Prop.10-95).
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e AC perpendicolari tra loro
- Perpendicolare: completa il rettangolo BC
- Segmento: disegna il segmento EB, con E interno ad AB
- Perpendicolare: completa il rettangolo BD
- Segmento: disegna il segmento FG
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a FG per F
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FH = ABxAC/GF
- Perpendicolare: completa il rettangolo GH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FK = BExAC/GF
- Perpendicolare: completa il rettangolo GK