LIBRO X - Terza Parte
Prop.108: Se da un'area razionale è sottratta un'area mediale, il lato dell'area restante risulta una sola delle due rette irrazionali, o apotome o minore
Dimostrazione
Si sottragga un'area mediale BD da un'area razionale BC: dico che il lato della restante EC risulta una delle due rette irrazionali, o una apotome o una minore.
Sia fissata una retta razionale FG, e ad FG si appplichi un parallelogrammo rettangolo GH uguale a BC, e si sottragga GK uguale a DB. EC restante è quindi uguale a LH.
Poiché BC è razionale, e BD mediale, mentre BC è uguale a GH, e BD a GK, allora GH è razionale, e GK è mediale. E risulta applicato ad una retta razionale FG, pertanto FH è razionale e commensurabile in lunghezza con FG (Prop.10-20), mentre FK è razionale e incommensurabile in lunghezza con FG. FH è quindi incommensurabile in lunghezza con FK (Prop.10-13).
FH e FK sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza. KH è quindi una apotome, e KF quella ad essa appplicata (Prop.10-73). Il quadrato su HF è maggiore del quadrato su FK per il quadrato su una retta o commensurabile o non commensurabile con HF.
In primo luogo, sia il quadrato su di essa maggiore del quadrato su una retta commensurabile con essa. E HF totale è commensurabile in lunghezza con la razionale FG fissata, pertanto KH è una apotome prima. Ma il lato del rettangolo compreso da una razionale e da una apotome prima è una apotome (Prop.10-91). Il lato di LH, cioè, di EC, è quindi una apotome.
Ma se il quadrato su HF è maggiore del quadrato su FK per il quadrato su una retta incommensurabile con HF, mentre FH totale è commensurabile in lunghezza con la razionale FG fissata, allora KH è una apotome quarta. Ma il lato del rettangolo compreso da una razionale e da una apotome quarta è minore.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e AC perpendicolari tra loro
- Perpendicolare: completa il rettangolo BC
- Segmento: disegna il segmento EB, con E interno ad AB
- Perpendicolare: completa il rettangolo BD
- Segmento: disegna il segmento FG
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare a FG per F
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FH = ABxAC/GF
- Perpendicolare: completa il rettangolo GH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento FK = BExAC/GF
- Perpendicolare: completa il rettangolo GK