LIBRO X - Terza Parte
Prop.107: Una retta commensurabile con quella che produce un'area mediale e un totale mediale è essa stessa una retta che produce con un'area mediale un totale mediale
Dimostrazione
Sia AB una retta che con un'area mediale produce una totale mediale e sia CD commensurabile con AB: dico che anche CD è una retta che con un'area mediale produce una totale mediale.
Sia BE quella che si adatta ad AB e siano fatte le stesse costruzioni. AE e EB sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale, il rettangolo da esse compreso mediale, e inoltre, la somma dei quadrati su di esse incommensurabile con il rettangolo da esse compreso (Prop.10-78).
AE e EB, come dimostrato, sono commensurabile con CF e FD, la somma dei quadrati su AE e EB con la somma dei quadrati su CF e FD, e il rettangolo AE per EB con il rettangolo CF per FD. CF e FD sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale, il rettangolo da esse compreso mediale, e inoltre, la somma dei quadrati su di esse incommensurabile con il rettangolo da esse compreso.
CD è quindi una retta che produce con un'area mediale una totale mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Segmento: disegna il segmento EB adiacente ad AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DF = BExCD/AB