LIBRO X - Terza Parte
Prop.106: Una retta commensurabile con quella che produce con un'area razionale una totale mediale è una retta che produce con un'area razionale un totale mediale
Dimostrazione
Sia AB una retta che con un'area razionale produce una totale mediale e sia CD commensurabile con AB: dico che anche CD è una retta che con un'area razionale produce una totale mediale.
Sia BE quella che si adatta ad AB, pertanto AE e EB sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su AE e EB mediale ma il rettangolo da esse compreso razionale (Prop.10-77).
E siano state effettuate le stesse costruzioni. Del tutto similmente a quelli di prima si dimosta che CF e FD sono nello stesso rapporto di AE con EB, la somma dei quadrati su AE e EB è commensurabile con la somma dei quadrati su CF e FD, e che il rettangolo AE per EB è commensurabile con il rettangolo CF per FD, così che anche CF e FD sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su CF e FD mediale ma il rettangolo da esse compreso razionale.
CD è quindi una retta che produce con un'area razionale una totale mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Segmento: disegna il segmento EB adiacente ad AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DF = BExCD/AB