LIBRO X - Terza Parte
Prop.105: Una retta commensurabile con una minore è anch'essa minore
Dimostrazione
Sia AB una minore e sia CD commensurabile con AB: dico che anche CD è una minore.
Fatte le stesse costruzioni precedenti (Prop.10-104), poiché AE e EB sono rette incommensurabili in potenza, allora anche CF e FD sono incommensurabili in potenza (Prop.10-74, Prop.10-75).
E poiché AE sta a EB come CF sta a FD, allora il quadrato su AE sta al quadrato su EB come il quadrato su CF sta al quadrato su FD (Prop.5-12). Pertanto, componendo (Prop.5-18), la somma dei quadrati su AE e EB sta la quadrato su EB come la somma dei quadrati su CF e FD sta al quadrato su FD.
Ma il quadrato su BE è commensurabile con il quadrato su DF, pertanto anche la somma dei quadrati su AE e EB è commensurabile con la somma dei quadrati su CF e FD (Prop.10-11). Ma la somma dei quadrati su AE e EB è razionale, anche la somma dei quadrati su CF e FD è quindi razionale (Prop.10-76).
Di nuovo, poiché il quadrato su AE sta al rettangolo AE per EB come il quadrato su CF sta al rettangolo CF per FD, mentre il quadrato su AE è commensurabile con il quadrato su CF, allora anche il rettangolo AE per EB è commensurabile con il rettangolo CF per FD.
Ma il rettangolo AE per EB è mediale, anche il rettangolo CF per FD è mediale (Prop.10-76). CF e FD sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale, ma il rettangolo da esse compreso mediale. CD è quindi una minore.
CD è quindi una apotome di una mediale e la stessa in ordine di AB.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Segmento: disegna il segmento EB adiacente ad AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DF = BExCD/AB