LIBRO X - Terza Parte
Prop.104: Una retta commensurabile con una apotome di una mediale è anch'essa apotome di una mediale e la stessa in ordine
Dimostrazione
Sia AB una apotome di una mediale e sia CD commensurabile in lunghezza con AB: dico che anche CD è una apotome di una mediale e la stessa in ordine.
Poiché AB è una apotome di una mediale, sia BE quella che si adatta ad essa, pertanto AE ed EB sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-74, Prop.10-75). E risulti essere che AB sta CD come BE sta a DF (Prop.6-12). Anche AE è quindi commensurabile con CF, e BE con DF (Prop.10-11).
Ma AE ed EB sono mediali commensurabili soltanto in potenza, anche CF e FD sono quindi mediali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-13). CD è quindi una apotome di una mediale (Prop.10-74, Prop.10-75).
Dico ora che è la stesa in ordine di AB.
Poiché AE sta a EB come CF sta a FD, ma come AE sta a EB così il quadrato su AE sta al rettangolo AE per EB, e come CF sta a FD così il quadrato su CF sta al rettangolo CF per FD; allora il quadrato su AE sta al rettangolo AE per EB come il quadrato su CF sta al rettangolo CF per FD e, alternando (Prop.5-16) DE sta a CF come il rettangolo AE per EB sta al rettangolo CF per FD. Ma il quadrato su AE è commensurabile con il quadrato su CF, anche il rettangolo AE per EB è quindi commensurabile con il rettangolo CF per FD (Prop.10-11).
Se quindi il rettangolo AE per EB è razionale, allora anche il rettangolo CF per FD è razionale, e se il rettangolo AE per EB è mediale, anche il rettangolo CF per FD è mediale (Prop.10-23-Cor).
CD è quindi una apotome di una mediale e la stessa in ordine di AB.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Segmento: disegna il segmento EB adiacente ad AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DF = BExCD/AB