LIBRO X - Terza Parte
Prop.103: Una retta commensurabile in lunghezza con una apotome è apotome e la stessa in ordine
Dimostrazione
Sia AB una apotome e sia CD commensurabile in lunghezza con AB: dico che anche CD è una apotome e la stessa in ordine.
Poiché AB è una apotome, sia BE quella che si adatta ad essa, pertanto AE ed EB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-73). E risulti essere che il rapporto di BE con DF sia lo stesso di quello tra AB e CD. E come uno solo rispetto a uno solo, sono tutti rispetto a tutti, pertanto AE totale sta CF totale come AB sta a CD (Prop5-12).
Ma AB è commensurabile in lunghezza con CD, anche AE è quindi commensurabile con CF, e BE con DF (Prop.10-11). Ma AE ed EB sono razionali commensurabili soltanto in potenza, anche CF e FD sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-13).
E poiché AE sta a CF come BE sta a DF, allora, alternando, AE sta a EB come CF sta a FD (Prop.5-16). E il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EB o per il quadrato su una retta commensurabile con AE o per il quadrato su una retta incommensurable con essa.
E se il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EB per il quadrato su una retta commensurabile con AE, allora anche il quadrato su CF è maggiore del quadrato su FD per il quadrato su una retta commensurabile con CF (Prop.10-14).
E se AE è commensurabile in lunghezza con la razionale fissata, allora anche CF lo è; se BE, allora anche DF; e, se nessuna delle rette AE e EB, allora nessuna delle rette CF e FD (Prop.10-12). Ma, se il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EB per il quadrato su una retta incommensurabile con AE, allora anche il quadrato su CF è maggiore del quadrato su FD per il quadrato su una retta incommensurabile con CF (Prop.10-14).
E se AE è commensurabile in lunghezza con la razionale fissata, allora anche CF lo è; se BE, allora anche DF; e, se nessuna delle rette AE e EB, allora nessuna delle rette CF e FD (Prop.10-12).
CD è quindi una apotome e la stessa in ordine con AB.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Segmento: disegna il segmento EB adiacente ad AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DF = BExCD/AB