LIBRO X - Terza Parte
Prop.102: Il quadrato su una retta che produce con un'area mediale il totale mediale, se applicato ad una razionale produce come larghezza una apotome sesta
Dimostrazione
Sia AB una retta che produce con un'area mediale un totale mediale, e CD una retta razionale, e a CD sia applicato CE uguale al quadrato su AB e che produce CF come larghezza: dico che CF è una apotome sesta.
Sia BG adattata a AB. Allora AG e GB sono rette incommensurabili in potenza che fanno sia la somma dei quadrati su di esse mediale, sia il doppio del rettangolo da esse compreso mediale, sia la somma dei quadrati su di esse incommensurabile con il doppio del rettangolo AG per GB (Prop.10-78). A CD si applichi CH, uguale al quadrato su AG e che produce CK come larghezza, e KL uguale al quadrato su GB. CL totale è quindi uguale alla somma dei quadrati su AG e GB. CL è quindi mediale.
Ed è applicato alla retta razionale CD producendo CM come larghezza, pertanto CM è razionale e incommensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-22). E poiché CL totale è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, dei quali CE è uguale al quadrato su AB, allora FL restante è uguale al doppio del rettangolo AG per GB (Prop.2-7). Ma il doppio del rettangolo AG per GB è mediale, anche FL è quindi mediale.
Ed è applicato alla retta razionale FE producendo FM come larghezza, pertanto FM è razionale e incommensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-22). Poiché la somma dei quadrati su AG e GB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AG per GB, CL è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, e FL è uguale al doppio del rettangolo AG per GB, allora CL è incommensurabile con FL.
Ma CL sta a FL come CM sta a FM (Prop.6-1), pertanto CM è incommensurabile in lunghezza con FM (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto CM e MF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. CF è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico ora che è anche sesta.
Poiché FL è uguale al doppio del rettangolo AG per GB, si sechi a metà FM in N, e si tracci NO per N parallela a CD, pertanto ognuno dei rettangoli FO e NL è uguale al rettangolo AG per GB. E poiché AG e GB sono incommensurabili in potenza, allora il quadrato su AG è incommensurabile con il quadrato su GB.
Ma CH è uguale al quadrato su AG, e KL al quadrato su GB, pertanto CH è incommensurabile con KL. Ma CH sta a KL come CK sta a KM (Prop.6-1), pertanto CK è incommensurabile con KM (Prop.10-11).
Poiché il rettangolo AG per GB è un medio proporzionale tra i quadrati su AG e GB, CH è uguale al quadrato su AG, KL al quadrato su GB, e NL al rettangolo AG per GB, anche NL è quindi un medio proporzionale tre CH e KL. CH sta quindi a NL come NL sta a KL.
E per gli stessi motivi il quadrato su CM è maggiore del quadrato su MF per il quadrato su una retta incommensurabile con CM (Prop.10-18). E né l'una né l'altra è commensurabile con la retta razionale CD fissata, pertanto CF è una apotome sesta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: traccia una perpendicolare al segmento AB e su di essa traccia il segmento CD
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a CD passante per C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = ABxAB/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DH = AGxAG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BGxBG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo KL
- Punto Medio: segna il punto medio, N, di FM
- Parallela: disegna la parallela a CD passante per un punto N