LIBRO X - Terza Parte
Prop.101: Il quadrato su una retta che con un'area razionale produce il totale mediale come larghezza una apotome quinta
Dimostrazione
Sia AB una retta che produce con un'area razionale un totale mediale, e CD una retta razionale, e a CD sia applicato CE uguale al quadrato su AB e che produce CF come larghezza: dico che CF è una apotome quinta.
Sia BG adattata a AB. Allora AG e GB sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su AG e GB mediale, ma il doppio del rettangolo da esse compreso razionale (Prop.10-77). A CD si applichi CH, uguale al quadrato su AG, e KL uguale al quadrato su GB. CL totale è quindi uguale alla somma dei quadrati su AG e GB.
E la somma dei quadrati su AG e GB è mediale, pertanto CL è mediale. Ed è applicato alla retta razionale CD producendo CM come larghezza, pertanto CM è razionale e incommensurabile con CD (Prop.10-22). E poiché CL totale è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, dei quali CE è uguale al quadrato su AB, allora FL restante è uguale al doppio del rettangolo AG per GB (Prop.2-7).
Si sechi FM a metà in N, e si tracci NO passante per N parallela a l'una o l'altra delle CD o ML. Allora ognuno dei rettangoli FO e LN è uguale al rettangolo AG per GB. E poiché il rettangolo AG per GB è razionale e uguale a FL, anche FL è quindi razionale. Ed è applicato alla razionale EF producendo FM come larghezza, pertanto FM è razionale e commensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-20).
E poiché CL è mediale, e FL razionale, allora CL è incommensurabile con FL.
Ma CL sta a FL come CM sta a FM (Prop.6-1), pertanto CM è incommensurabile in lunghezza con FM (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto CM e MF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. CF è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico ora che è anche quinta.
Similmente si dimostra che il rettangolo CK per KM è uguale al quadrato su NM, cioè la quarta parte del quadrato su FM. E poiché il quadrato su AG è incommensurabile con il quadrato su GB, mentre il quadrato su AG è uguale a CH, e il quadrato su GB è uguale a KL, allora CH è incommensurabile con KL.
Ma CH sta a KL come CK sta a KM (Prop.6-1), pertanto CK è incommensurabile con KM (Prop.10-11).
Poiché CM e MF sono rette disuguali, e il parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su FM e facente difetto di una figura quadrata, risulta applicato a CM, e la divide in segmenti incommensurabili, allora il quadrato su CM è maggiore del quadrato su MF per il quadrato su una retta incommensurabile con CM (Prop.10-18).
E quella che si adatta FM è commensurabile in lunghezza con la retta razionale CD fissata, pertanto CF è una apotome quinta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: traccia una perpendicolare al segmento AB e su di essa traccia il segmento CD
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a CD passante per C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = ABxAB/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DH = AGxAG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BGxBG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo KL
- Punto Medio: segna il punto medio, N, di FM
- Parallela: disegna la parallela a CD passante per un punto N