LIBRO X - Terza Parte
Prop.100: Il quadrato su una minore applicata ad una razionale produce come larghezza una apotome quarta
Dimostrazione
Sia AB una minore e CD una razionale e a CD sia appplicato CE uguale al quadrato su AB e che produce CF come larghezza: dico che CF è una apotome quarta.
Sia BG adattata a AB. Allora AG e GB sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su AG e GB razionale, ma il doppio del rettangolo AG per GB mediale (Prop.10-76). A CD si applichi CH, uguale al quadrato su AG, che produce CK come larghezza, e KL, uguale al quadrato su BG che produce KM come larghezza. CL totale è quindi uguale alla somma dei quadrati su AG e GB.
E la somma dei quadrati su AG e GB è razionale; anche CL è quindi razionale. Ed è applicato alla retta razionale CD producendo CM come larghezza, pertanto anche CM è razionale e commensurabile con CD (Prop.10-20). E poiché CL totale è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, dei quali CE è uguale al quadrato su AB, pertanto FL restante è uguale al doppio del rettangolo AG per GB (Prop.2-7).
Si sechi FM a metà in N, e si tracci NO passante per N parallela a l'una o l'altra delle CD o ML. Allora ognuno dei rettangoli FO e LN è uguale al rettangolo AG per GB. E poiché il rettangolo AG per GB è mediale e uguale a FL, anche FL è quindi mediale. Ed è applicato alla razionale EF producendo FM come larghezza, anche FM è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-22).
Poiché la somma dei quadrati su AG e GB è razionale, mentre il doppio del rettangolo AG per GB è mediale, allora la somma dei quadrati su AG e GB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AG per GB. Ma CL è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, e FL è uguale al doppio del rettangolo AG per GB, anche CL è quindi incommensurabile con FL.
Ma CL sta a FL come CM sta a FM (Prop.6-1), pertanto CM è incommensurabile in lunghezza con FM (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto CM e MF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. CF è quindi una apotome.
Dico ora che è anche quarta.
Poiché AG e GB sono incommensurabile in potenza, allora anche il quadrato su AG è incommensurabile con il quadrato su GB. Ma CH è uguale al quadrato su AG, KL al quadrato su GB, allora anche CH è incommensurabile con KL. Ma CH sta a KL come CK sta a KM (Prop.6-1), pertanto CK è incommensurabile in lunghezza con KM.
Poiché il rettangolo AG per GB è medio proporzionale tra i quadrati su AG e GB, il quadrato su AG è uguale a CH, il quadrato su GB è uguale a KL, e il rettangolo AG per GB è uguale a NL, allora NL è medio proporzionale tra CH e KL. CH sta quindi a NL come NL sta a KL.
Ma CH sta a NL come CK sta a NM, e NL sta a KL come NM sta a KM (Prop.6-1), allora CK sta a MN come MN sta a KM (Prop.6-11). Il rettangolo CK per KM è quindi uguale al quadrato su MN, cioè, alla quarta parte del quadrato su FM (Prop.6-17).
Poiché CM e MF sono rette disuguali, e il rettangolo CK per KM, uguale alla quarta parte del quadrato su MF e facente difetto di una figura quadrata, risulta applicato a CM, e la divide in segmenti incommensurabili, allora il quadrato su CM è maggiore del quadrato su MF per il quadrato su una retta incommensurabile con CM (Prop.10-18).
E CM totale è commensurabile in lunghezza con la retta razionale CD fissata, pertanto CF è una apotome quarta.
Il quadrato su una minore quindi è quello che segue.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: traccia una perpendicolare al segmento AB e su di essa traccia il segmento CD
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a CD passante per C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = ABxAB/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DH = AGxAG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BGxBG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo KL
- Punto Medio: segna il punto medio, N, di FM
- Parallela: disegna la parallela a CD passante per un punto N