LIBRO X - Terza Parte
Prop.99: Il quadrato su una apotome seconda di una mediale applicata ad una razionale produce come larghezza una apotome terza
Dimostrazione
Sia AB una apotome seconda di una mediale e CD una razionale e a CD sia appplicato CE uguale al quadrato su AB e che produce CF come larghezza: dico che CFè una apotome terza.
Sia BG adattata a AB. Allora AG e GB sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza che comprendono un rettangolo mediale (Prop.10-75). A CD si applichi CH, uguale al quadrato su AG, che produce CK come larghezza, e KL, uguale al quadrato su BG, che produce KM come larghezza.
CL totale è quindi uguale alla somma dei quadrati su AG e GB (Prop.10-15). Anche CL è quindi mediale (Prop.10.23-Cor). Ed è applicato alla retta razionale CD producendo CM come larghezza, pertanto CM è razionale e incommensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-22). E poiché CL è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, dei quali il quadrato su AB è uguale a CE, pertanto il restante, il doppio del rettangolo AG per GB, è uguale a FL (Prop.2-7).
Si sechi FM a metà in N, e si tracci NO parallela a CD passante per N. Allora ognuno dei rettangoli FO e LN è uguale al rettangolo AG per GB. Ma il rettangolo AG per GB è mediale, anche FL è quindi mediale. Ed è applicato alla razionale EF producendo FM come larghezza, anche FM è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-22).
Poiché AG e GB sono commensurabile soltanto in potenza, allora AG è incommensurabile in lunghezza con GB. Anche il quadrato su AG è incommensurabile con il rettangolo AG per GB (Prop.10-11). Ma la somma dei quadrati su AG e GB è commensurabile con il quadrato su AG, e il doppio del rettangolo AG per GB con il rettangolo AG per GB, pertanto la somma dei quadrati su AG e GB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AG per GB (Prop.10-13).
Ma CL è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, e FL è uguale al doppio del rettangolo AG per GB, anche CL è quindi incommensurabile con FL. Ma CL sta a FL come CM sta a FM (Prop.6-1), pertanto CM è incommensurabile in lunghezza con FM. Ed entrambe sono razionali, pertanto CM e MF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. CF è quindi una apotome.
Dico ora cheè anche terza.
Poiché il quadrato su AG è commensurabile con il quadrato su GB, anche CH è quindi commensurabile con KL, così che anche CK è commensurabile con KM (Prop.10-11). Poiché il rettangolo AG per GB è medio proporzionale tra i quadrati su AG e GB, CH è uguale al quadrato su AG, KL al quadrato su GB, e NL al rettangolo AG per GB, allora anche NL è medio proporzionale tra CH e KL. CH sta quindi a NL come NL sta a KL.
Ma CH sta a NL come CK sta a NM (Prop.6-1), e NL sta a KL come NM sta a MK, pertanto CK sta a NM come NM sta a KM (Prop.6-11). Il rettangolo CK per KM è quindi uguale al quadrato su NM, cioè la quarta parte del quadrato su FM (Prop.6-17).
Poiché CM e MF sono rette disuguali, e il rettangolo CK per KM, uguale alla quarta parte del quadrato su MF e facente difetto di una figura quadrata, risulta applicato a CM, e la divide in segmenti commensurabili, allora il quadrato su CM è maggiore del quadrato su MF per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con CM (Prop.10-17).
E né l'una né l'altra delle rette CM e MF è commensurabile in lunghezza con la retta razionale CD fissata, pertanto CF è una apotome terza.
Il quadrato su una apotome seconda di una mediale applicata ad una razionale produce come larghezza una apotome terza.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: traccia una perpendicolare al segmento AB e su di essa traccia il segmento CD
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a CD passante per C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = ABxAB/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DH = AGxAG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BGxBG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo KL
- Punto Medio: segna il punto medio, N, di FM
- Parallela: disegna la parallela a CD passante per un punto N