Elementi di Euclide

Prop.71: Se una razionale e una mediale sono composte, allora risultano quattro rette irrazionali, cioè una binomiale o una bimediale prima o una maggiore o un lato di una razionale più un'area mediale

Dimostrazione

Sia AB una razionale e CD una mediale: dico che il lato dell'area AD è una binomiale o una bimediale prima o una maggiore o un lato di una razionale più un'area mediale.

AB o è maggiore di CD oppure minore. Sia in primo luogo maggiore.

Sia fissata una retta razionale EF, e sia applicato a EF il rettangolo EG uguale a AB, che produce EH come larghezza, e si applichi HI a EF, uguale a DC, che produce HK come larghezza. E poiché AB è razionale e uguale a EG, allora anche EG è razionale. Ed è applicata a EF, producendo EH come larghezza, pertanto EH è razionale e commensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-20).

Di nuovo, poiché CD è mediale e uguale a HI, allora anche HI è mediale. Ed è applicata alla retta razionale EF, producendo HK come larghezzza, pertanto HK è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22). Poiché CD è mediale, mentre AB è razionale, allora AB è incommensurabile con CD, così che anche EG è incommensurabile con HI.

Ma EG sta a HI come EH sta a HK (Prop.6-1), pertanto anche EH è incommensurabile in lunghezza con HK (Prop.10-11). Ed entrambi sono razionali, pertanto EH e HK sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. EK è quindi una binomiale divisa in H (Prop.10-36).

Poiché AB è maggiore di CD, mentre AB è uguale a EG e CD è uguale a HI, allora anche EG è maggiore di HI. Anche EH è quindi maggiore di HK. Il quadrato su EH è quindi maggiore del quadrato su HK o per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con EH o per il quadrato su una retta incommensurabile con essa.

Sia in primo luogo il quadrato su di essa maggiore del quadrato su una retta commensurabile con se stessa. Ed è la maggiore HE commensurabile in lunghezza con la razionale EF fissata, pertanto EK è una binomiale prima (Def.10-1). Ma EF è razionale, e, se un'area è compresa da una razione e da una binomiale prima, allora il lato del quadrato uguale all'area è binomiale. Il lato di EI è quindi binomiale, così che anche il lato di AD è binomiale (Prop.10-54).

Sia ora il quadrato su EH maggiore del quadrato su HK per il quadrato su una retta incommensurabile con EH. La retta maggiore EH è ora commensurabile in lunghezza con la razionale EF fissata, pertanto EK è una binomiale quarta (Def.10-8). Ma EF è razionale, e, un'area è compresa da una razionale e da una binomiale quarta, allora il lato dell'area è la retta irrazionale chiamata maggiore. Il lato dell'area EI è quindi maggiore, così che anche il lato dell'area AD è maggiore (Prop.10-57).

Ma ora sia AB minore di CD.

Anche EG è quindi minore di HI, così che anche EH è minore di HK. Il quadrato su HK è maggiore del quadrato su EH o per il quadrato su una retta commensurabile con HK o per il quadrato su una retta incommensurabile con essa.

Sia in primo luogo per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con se stessa. Ora la retta minore EH è commensurabile in lunghezza con la razionale EF fissata, pertanto EK è una binomiale seconda (Def.10-2). Ma EF è razionale, e, se un'area è compresa da un razionale e da una binomiale seconda, allora il lato del quadrato su di essa è una bimediale prima; il lato dell'area EI è quindi una bimediale prima, così che anche il lato di AD è una bimediale prima (Prop.10-55).

Sia ora il quadrato su HK maggiore del quadrato su HE per il quadrato sun una incommensurabile con HK. Ora la minore EH è commensurabile con la razionale EF fissata, pertanto EK è una binomiale quinta (Def.10-5). Ma EF è razionale, e, se un'area è compresa da una razionale e da una binomiale quinta, allora il lato del quadrato uguale all'area è un lato di una razionale più un'area mediale (Prop.10-58).

Il lato dell'area EI è quindi un lato di una razionale più un'area mediale, così che anche il lato dell'area AD è unlato di una razionale più un'area mediale.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta
• Segmento: disegna sulla retta il segmento AC
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a AC passante per C; completa il rettangolo AB
• Segmento: disegna il segmento BD
• Perpendicolare: completa il rettangolo CD
• Segmento: disegna il segmento EF
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a EF
• Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare il segmento FG = ACxBC/EF
• Perpendicolare: completa il rettangolo EG
• Circonferenza di dato raggio: disegna sul prolungamento di FG il segmento GI = BCxBD/EF
• Perpendicolare: completa il rettangolo HI