Elementi di Euclide

Prop.72: Se due aree mediali incommensurabili tra loro sono composte, allora risultano le restanti due irrazionali, cioè o una bimediale seconda o un lato della somma di due aree mediali

Dimostrazione

Siano composte due aree mediali AB e CD incommensurabili: dico che il lato dell'area AD è o una bimediale seconda o un lato della somma di due aree mediali.

AB o è maggiore di CD oppure minore. Sia in primo luogo maggiore.

Sia fissata una retta razionale EF, e si applichi ad EF il rettangolo EG uguale ad AB e che produce EH come larghezza, e il rettangolo HI uguale a CD e che produce HK come larghezza.

E poiché ognuna delle aree AB e CD è mediale, allora anche ognuna delle aree EG e HI è mediale. E risultano applicate alla retta razionale FE che produce EH e HK come larghezza, pertanto ognuna delle rette EH e HK è razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22). Poiché AB è incommensurabile con CD, e AB è uguale a EG, e CD è uguale a HI, pertanto anche EG è incommensurabile con HI.

Ma EG sta a HI come EH sta a HK (Prop.6-1), pertanto EH è incommensurabile in lunghezza con HK (Prop.10-11). EH e HK sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza, pertanto EK è binomiale (Prop.10-36). Ma il quadrato su EH è maggiore del quadrato su HK o per il quadrato su una commensurabile con EH o per il quadrato su una incommensurabile con essa.

Sia in primo luogo il quadrato su di essa maggiore per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con se stessa. Ora né l'una né l'altra delle EH, HK è commensurabile in lunghezza con la razionale EF fissata, pertanto EK è una binomiale terza (Def.10.6). Ma EF è razionale, e, se un'area è compresa da una razionale e da una binomiale terza, allora il lato dell'area è una bimediale seconda, pertanto il lato di EI, cioè, di AD, è una bimediale seconda (Prop.10-56).

Sia ora il quadrato su EH maggiore del quadrato su HK per il quadrato su una incommensurabile in lunghezza con EH. Ognuna delle rette EH e HK è incommensurabile in lunghezza con EF, pertanto EK è una binomiale sesta (Def.10-10). Ma, se un'area è compresa da una razionale e da una binomiale sesta, allora il lato dell'area è il lato della somma di due aree mediali, così che anche il lato dell'area AD è il lato della somma di due aree mediali (Prop.10-59).

Se due aree mediali incommensurabili tra loro sono quindi composte, allora risultano le restanti due irrazionali, cioè o una bimediale seconda o un lato della somma di due aree mediali.

La binomiale e le rette irrazionali dopo di essa non sono le stesse né della mediale né tra loro.

Il quadrato su una mediale, se applicato ad una razionale, produce infatti come larghezza una retta razionale e incommensurabile in lunghezza con quella alla quale è applicata. Ma il quadrato sulla binomiale, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una binomiale prima (Prop.10-22).

Il quadrato su una bimediale prima, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una binomiale seconda (Prop.10-61).

Il quadrato su una bimediale seconda, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una binomiale terza (Prop.10-62).

Il quadrato sulla maggiore, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una binomiale quarta (Prop.10-63).

Il quadrato sul lato di una razionale più un'area mediale, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una binomiale quinta (Prop.10-64).

Il quadrato sul lato della somma di due aree mediali, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una binomiale sesta (Prop.10-65).

E le dette larghezze differiscono sia dalla prima che tra loro, dalla prima perché è razionale, e tra loro poiché non sono le stesse in ordine, così che anche le irrazionali stesse differiscono tra loro.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta
• Segmento: disegna sulla retta il segmento AC
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a AC passante per C; completa il rettangolo AB
• Segmento: disegna il segmento BD
• Perpendicolare: completa il rettangolo CD
• Segmento: disegna il segmento EF
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a EF
• Circonferenza di dato raggio: disegna sulla perpendicolare il segmento FG = ACxBC/EF
• Perpendicolare: completa il rettangolo EG
• Circonferenza di dato raggio: disegna sul prolungamento di FG il segmento GI = BCxBD/EF
• Perpendicolare: completa il rettangolo HI