Elementi di Euclide

Prop.62: Il quadrato sulla retta bimediale seconda applicato ad una retta razionale produce come larghezza una binomiale terza

Dimostrazione

Sia data una binediale seconda AB che risulti divisa nelle mediali, delle quali AC sia la maggiore, secondo C e sia fissata una razionale DE, e a DE sia applicato il parallelogrammo DF uguale al quadrato su AB, che produce DG come larghezza: dico che DG è binomiale terza.

Siano effettuate le stesse costruzioni di prima di questa. E poiché AB è una bimediale seconda divisa in C, allora AC e CB sono mediali commensurabili soltanto in potenza, e comprendenti un rettangolo mediale (Prop.10-38), così che anche la somma dei quadrati su AC e CB è mediale (Prop.10-15). Ed è uguale a DL; DL è quindi mediale.

Ed è stata applicata alla retta razionale DE, pertanto MD è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop-10-22). Per gli stessi motivi, anche MG è razionale e incommensurabile in lunghezza con ML, cioè, con DE, pertanto ognuna delle rette DM e MG è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE.

Poiché AC è incommensurabile in lunghezza con CB, e AC sta a CB come il quadrato su AC sta al rettangolo AC per CB, allora anche il quadrato su AC è incommensurabile con il rettangolo AC per CB (Prop.10-11). La somma dei quadrati su AC e CB è quindi incommensurabile con il doppio del rettangolo AC per CB, cioè, DL è incommensurabile con MF, così che anche DM è incommensurabile con MG (Prop.10-12, Prop.10-13). Ma esse sono razionali, pertanto DG è binomiale.

Va ora dimostrato che è anche binomiale terza.

Del tutto similmente a prima considereremo che DM è maggiore di MG, e che DK è commensurabile con KM. Ed il rettangolo DK per KM è uguale al quadrato su MN, pertanto il quadrato su DM è maggiore del quadrato su MG per il quadrato su una retta commensurabile con DM. E nessuna delle rette DM, MG è commensurabile in lunghezza con DE.

DG è quindi una binomiale terza.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB e su di esso il punto C e il segmento DE
• Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E al lato DE
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EH = ACxAC/DE
• Perpendicolare: completa il rettangolo DH
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BCxBC/DE
• Perpendicolare: completa il rettangolo KL
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento MG = 2ACxCB/DE
• Perpendicolare: completa il rettangolo MF
• Punto Medio: traccia il punto medio, N, di MG
• Parallela: disegna il segmento NO parallelo a ML