LIBRO X - Seconda Parte
Prop.65: Il quadrato sul lato della somma di due aree mediali applicato ad una retta razionale produce come larghezza una binomiale sesta
Dimostrazione
Sia AB il lato della somma di due aree mediali, diviso in C, e sia fissata una razionale DE, e sia applicato a DE il parallelogrammo DF uguale al quadrato su AB, che produce DG come larghezza: dico che DG è binomiale sesta.
Siano effettuate le stesse costruzioni di prima di questa. poiché AB è il lato della somma di due aree mediali diviso in C, allora AC e CB sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale, il rettangolo da esse compreso mediale, e inoltre la somma dei quadrati su di esse incommensurabile con il rettangolo da esse compreso (Prop.10-41).
Così che, secondo quanto prima dimostrato, ognuno dei rettangoli DL e MF è mediale. Ed essi sono applicati alla retta razionale DE, pertanto ognuna delle rette DM e MG è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-22).
Poiché la somma dei quadrati su AC e CB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AC per CB, allora DL è incommensurabile con MF. Anche DM è quindi incommensurabile con MG (Prop.10-11). DM e MG sono quindi razionali commensurabili solo in potenza. DG è quindi binomiale (Prop.10-36).
Va ora dimostrato che è anche binomiale sesta.
Similmente sarà dimostrato che il rettangolo DK per KM è uguale al quadrato su MN, e che DK è incommensurabile in lunghezza con KM e per gli stessi motivi il quadrato su DM è quindi maggiore del quadrato su MG per il quadrato su una retta incommensurabile con DM. E né l'una né l'altra delle rette DM, MG è commensurabile in lunghezza con la razionale fissata DE.
DG è quindi una binomiale sesta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB e su di esso il punto C e il segmento DE
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E al lato DE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EH = ACxAC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo DH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BCxBC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo KL
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento MG = 2ACxCB/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo MF
- Punto Medio: traccia il punto medio, N, di MG
- Parallela: disegna il segmento NO parallelo a ML