LIBRO X - Seconda Parte
Prop.64: Il quadrato sul lato di una razionale più un'area mediale applicato ad una retta razionale produce come larghezza una binomiale quinta
Dimostrazione
Sia AB il lato di una razionale più un'area mediale, diviso in due rette in C, così che AC sia la maggiore, e sia fissata una razionale DE, e sia applicato a DE il parallelogrammo DF uguale al quadrato su AB, che produce DG come larghezza: dico che DG è binomiale quinta.
Siano effettuate le stesse costruzioni di prima di questa. Poiché AB è il lato di una razionale più un'area mediale, divisa in C, allora AC e CB sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il rettangolo da esse compreso razionale (Prop.10-40).
Poiché, quindi, la somma dei quadrati su AC e CB è mediale, allora DL è mediale, così che DM è razionale e incommensurabile in lunghezza con DE (Prop.10-22). Di nuovo, poiché il doppio del rettangolo AC per CB, cioè MF, è razionale, allora MG è razionale e commensurabile con DE (Prop.10-20).
DM è quindi incommensurabile con MG (Prop.10-13). DM e MG sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza. DG è quindi binomiale (Prop.10-36).
Va ora dimostrato che è anche binomiale quinta.
Similmente sarà dimostrato che il rettangolo DK per KM è uguale al quadrato su MN, e che DK è incommensurabile in lunghezza con KM. Il quadrato su DM è quindi maggiore del quadrato su MG per il quadrato su una retta incommensurabile con DM (Prop.10-18).
Ma DM e MG sono razionali commensurabili soltanto in potenza, e la minore, MG è commensurabile in lunghezza con DE. DG è quindi una binomiale quinta.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB e su di esso il punto C e il segmento DE
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E al lato DE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EH = ACxAC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo DH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BCxBC/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo KL
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento MG = 2ACxCB/DE
- Perpendicolare: completa il rettangolo MF
- Punto Medio: traccia il punto medio, N, di MG
- Parallela: disegna il segmento NO parallelo a ML