LIBRO X - Seconda Parte
Prop.66: Una retta commensurabile con una retta binomiale è anch'essa binomiale e la stessa in ordine
Dimostrazione
Sia AB una binomiale, e sia CD commensurabile in lunghezza con AB: dico che CD è binomiale e la stessa in ordine di AB.
Poiché AB è binomiale, la si divida nei suoi termini in E, e sia AE il termine maggiore, pertanto AE e EB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-36). Risulti essere che AB sta a CD come AE sta a CF (Prop.6-12). Allora EB restante sta a FD restante come AB sta a CD (Prop.5-19).
Ma AB è commensurabile in lunghezza con CD, pertanto anche AE è commensurabile con CF, e EB con FD (Prop.10-11). Ma AE e EB sono razionali, pertanto anche CF e FD sono razionali. Ma AE sta a CF come EB sta a FD (Prop.5-11). Alternando, AE sta a EB come CF sta a FD (Prop.5-16).
Ma AE e EB sono commensurabili solo in potenza, pertanto anche CF e FD sono commensurabili solo in potenza (Prop.10-11). Ed esse sono razionali, CD è quindi binomiale (Prop.10-36).
Dico ora che è la stessa in ordine di AB.
Poiché il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EB o per il quadrato su una retta commensurabile con AE o per il quadrato su una retta incommensurabile con essa. Se dunque il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EB per il quadrato su una retta commensurabile con AE, allora anche il quadrato su CF è maggiore del quadrato su FD per il quadrato su una retta commensurabile con CF (Prop.10-14).
E se AE è commensurabile con la retta razionale fissata, allora anche CF è commensurabile con essa, e per questo ognuna delle rette AB e CD è una binomiale prima, cioè, la stessa in ordine. Ma se EB è commensurabile con la razionale fissata, allora anche FD è commensurabile con essa, e per questo di nuovo CD è la stessa in ordine con AB, entrambe saranno infatti binomiale seconda (Prop.10-12).
E se nessuna delle AE e EB è commensurabile con la razionale fissata, allora né l'una né l'altra delle CF e FD è commensurabile con essa, e l'una e l'altra delle AB e CD è una binomiale terza (Prop.10-13). Ma se il quadrato su AE è maggiore del quadrato su EB per il quadrato su una retta incommensurabile con AE, allora anche il quadrato su CF è maggiore del quadrato su FD per il quadrato su una retta incommensurabile con CF (Prop.10-14).
Ma se AE è commensurabile con la razionale fissata, allora anche CF è commensurabile con essa, e l'una e l'altra delle AB e CD è una binomiale quarta. Ma se EB è commensurabile con la razionale fissata, allora anche FD lo è, e l'una e l'altra delle AB e CD è una binomiale quinta. Ma se né l'una né l'altra delle AE o EB è commensurabile con la razionale fissata, allora nessuna delle CF o FD è commensurabile con la razionale fissata, e l'una e l'altra delle AB e CD è una binomiale sesta.
Così che la retta commensurabile in lunghezza con una binomiale è binomiale e la stessa in ordine.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = CDxAE/AB