LIBRO X - Seconda Parte
Prop.67: Una retta commensurabile con una retta bimediale è anch'essa bimediale e la stessa in ordine
Dimostrazione
Sia AB una bimediale, e sia CD commensurabile in lunghezza con AB: dico che CD è bimediale e la stessa in ordine di AB.
Poiché AB è binomiale, la si divida nelle sue mediali in E. AE ed EB sono quindi mediali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-37-Prop.10-38). Risulti essere che AB sta a CD come AE sta a CF. Allora anche EB restante sta a FD restante come AB sta a CD (Prop.5-19).
Ma AB è commensurabile in lunghezza con CD, pertanto AE e EB sono commensurabili rispettivamente con CF e FD (Prop.10-11). Ma AE e EB sono mediali, pertanto anche CF e FD sono mediali (Prop.10-23). Poiché AE sta a EB come CF sta a FD (Prop.5-11), e AE e EB sono commensurabili soltanto in potenza, allora anche CF e FD sono commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-11).
Ma sono state anhe dimostrati mediali: CD è quindi bimediale.
Dico ora che è la stessa in ordine di AB.
Poiché AE sta a EB come CF sta a FD, allora il quadrato su AE sta al rettangolo AE per EB come il quadrato su CF sta al rettangolo CF per FD. Alternando, il quadrato su AE sta quindi al quadrato su CF come il rettangolo AE per EB sta al rettangolo CF per FD (Prop.5-16).
Ma il quadrato su AE è commensurabile con il quadrato su CF, pertanto il rettangolo AE per EB è commensurabile con il rettangolo CF per FD.
Se il rettangolo AE per EB è razionale, allora anche il rettangolo CF per FD è razionale, e per questo motivo CD è una bimediale prima (Prop.10-37), ma se mediale, mediale (Prop.10-23-Cor), e ognuna delle rette AB e CD è una bimediale seconda (Prop.10-38). E per questo motivo CD è la stessa in ordine con AB.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = CDxAE/AB