LIBRO X - Seconda Parte
Prop.68: Una retta commensurabile con una maggiore è anch'essa maggiore
Dimostrazione
Sia AB una maggiore, e sia CD commensurabile con AB: dico che CD è maggiore.
Si divida AB in E. Allora AE e EB sono rette incommensurabili in potenza che formano la somma dei quadrati su di esse razionale ma il rettangolo da esse compreso mediale (Prop.10-39). Si faccia la stessa costruzione della precedente.
Poiché AB sta a CD come AE sta a CF, e EB a FD, allora AE sta a CF come EB sta a FD (Prop.5-11). Ma AB è commensurabile con CD, pertanto AE e EB sono commensurabili rispettivamente con CF e FD (Prop.10-11). Poiché AE sta a CF come EB sta a FD, alternando, anche AE sta a EB come CF sta a FD (Prop.5-16), quindi componendo, AB sta a BE come CD sta a DF (Prop.5-18).
Il quadrato su AB sta quindi al quadrato su BE come il quadrato su CD sta al quadrato su DF (Prop.6-20). Del tutto similmente si può dimostrare che il quadrato su AB sta al quadrato su AE come il quadrato su CD sta al quadrato su CF. Il quadrato su AB sta quindi ai quadrati su AE e EB come il quadrato su CD sta ai quadrati su CF e FD, quindi, alternando, il quadrato su AB sta al quadrato su CD, come i quadrati su AE e EB stanno ai quadrati su CF e FD (Prop.5-16).
Ma il quadrato su AB è commensurabile con il quadrato su CD, pertanto anche i quadrati su AE e EB sono commensurabili con i quadrati su CF e FD. E i quadrati su AE e EB insieme sono un razionale, pertanto i quadrati su CF e FD insieme sono un razionale.
E similmente anche il doppio del rettangolo AE per EB è commensurabile con il doppio del rettangolo CF per FD. E il doppio del rettangolo AE per EB è mediale, pertanto anche il doppio del rettangolo CF per FD è mediale (Prop.10-23-Cor).
CF e FD sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale, ma il rettangolo da esse compreso mediale, pertanto CD totale è una irrazionale chiamata maggiore (Prop.10-39).
Una retta commensurabile con la maggiore è quindi maggiore.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = CDxAE/AB