LIBRO X - Seconda Parte
Prop.69: Una retta commensurabile con il lato di una razionale più un'area mediale è anch'essa il lato di una razionale più un'area mediale
Dimostrazione
Sia AB il lato di una razionale più un'area mediale, e sia CD commensurabile con AB: va dimostrato che anche CD è il lato di una razionale più un'area mediale.
Si divida AB nelle rette in E. Allora AE e EB sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il rettangolo da esse compreso razionale (Prop.10-40). Si faccia la stessa costruzione della precedente.
Del tutto similmente si dimostra che CF e FD sono incommensurabili in potenza, e che la somma dei quadrati su AE e EB è commensurabile con la somma dei quadrati su CF e FD, e il rettangolo AE per EB con il rettangolo CF per FD, così che anche la somma dei quadrati su CF e FD è mediale, e il rettangolo CF per FD razionale.
CD è quindi il lato di una razionale più un'area mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = CDxAE/AB