LIBRO X - Seconda Parte
Prop.70: Una retta commensurabile con il lato della somma di due aree mediali è il lato della somma di due aree mediali
Dimostrazione
Sia AB il lato della somma di due aree mediali, e CD commensurabile con AB: va dimostrato che anche CD è il lato della somma di due aree mediali.
Poiché infatti AB è il lato della somma di due aree mediali, la si divida nelle sue rette in E, pertanto AE, EB sono rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale, il rettangolo da esse compreso mediale, e ancora la somma dei quadrati su AE e EB incommensurabile con il rettangolo AE per EB (Prop.10-41). Si faccia la stessa costruzione della precedente.
Del tutto similmente si dimostra che anche CF e FD sono incommensurabili in potenza, la somma dei quadrati su AE e EB è commensurabile con la somma dei quadrati su CF e FD, e il rettangolo AE per EB con il rettangolo CF per FD, così che anche la somma dei quadrati su CF e FD è mediale, il rettangolo CF per FD è mediale, e la somma dei quadrati su CF e FD è incommensurabile con il rettangolo CF per FD.
CD è quindi il lato della somma di aree mediali.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB e CD
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = CDxAE/AB