LIBRO V
Prop.6: Se due grandezze sono equimultiple di due grandezze, e certe grandezze sottratte da esse sono equimultiple delle stesse, allora le restanti o sono equali alle stesse o sono loro equimultiple
Dimostrazione
Siano due grandezze AB e CD equimultiple di due grandezze E e F, e siano AG e CH sottratte da loro equimultiple delle stesse due E e F: dico che anche GB e HD restanti saranno o uguali a E e F o loro equimultiple.
Sia in primo luogo GB uguale a E, dico che anche HD è uguale a F. Si ponga CK uguale a F.
Poiché AG è equimultiplo di E come CH di F, mentre GB è uguale ad E, e KC è uguale a F, AB è quindi equimultiplo di E come KH di F. (Prop.5-2). Ma AB è stato supposto equimultiplo di E come CD di F, KH è quindi equimultiplo di F come CD di F.
Poiché quindi ognuna delle grandezze KH e CD è equimultipla di F, allora KH è uguale a CD. Si sottragga CH da entrambe. Allora KC restante è uguale a HD restante. Ma F è uguale a KC, anche HD è quindi uguale a F. Così che, se GB è uguale a E, anche HD è uguale a F. Analogamente si può dimostrare che, anche qualora GB sia multiplo di E, anche HD è allora equimultiplo di F.
Se due grandezze quindi sono equimultiple di due grandezze, e certe grandezze sottratte da esse sono equimultiple delle stesse, allora le restanti o sono equali alle stesse o sono loro equimultiple.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti E e F
- Segmento di data lunghezza: disegna i segmenti AB = 4E e CD = 4F
- Punto Medio: dividi i segmenti AB e CD in quattro parti
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio F e centro C, che interseca la semiretta che contiene il segmento CD in K, esterno a CD stesso
Questa proposizione afferma che se ma e mb sono equimultipli di a e b, e na e nb sono pure equimultipli, allora le differenze, \(ma - na\) e \(mb - nb\) sono pure equimultiple. é analogo alla Prop.5-2 che riguarda la somma.
La dimostrazione si basa sulla proprietà distributiva, cioé sulla possibilità di distribuire la moltiplicazione di grandezze sulla differenza di numeri:
\((m - n)a = ma - na\)
Nella figura, Euclide assume m = 4 e n = 3.
Questa proposizione non é usata negli Elementi.