LIBRO IV
Prop.8: Nel quadrato dato inscrivere un cerchio
Dimostrazione
Sia dato il quadrato ABCD: nel quadrato ABCD si deve pertanto inscrivere un cerchio.
Si sechino a metà le rette AD e AB nei punti E e F rispettivamente (Prop.1-10). Si conduca EH per E parallela a uno o all'altra delle AB o CD, e si conduca FK per F parallela a AD o BC (Prop.1-31). Ognuna delle figure AK, KB, AH, HD, AG, GC, BG, GD è quindi un parallelogrammo, e i loro lati opposti sono evidentemente uguali (Prop.1-34).
Poiché AD è uguale a AB, e AE è la metà di AD, e AF la metà di AB, AE è quindi uguale a AF, così che i lati opposti sono pure uguali; FG è quindi uguale a GE. Analogamente si dimostra che ciascuna delle rette GH e GK è uguale a ciascuna delle rette FG e GE. Le quattro rette GE, GF, GH, GK sono quindi uguali tra loro.
Il cerchio tracciato di centro G e raggio una delle rette GE, GF, GH, GK passa anche per i punti restanti. Ed è tangente alle rette AB, BC, CD, DA, poiché gli angoli in E, F, H, K sono retti.
Se infatti il cerchio seca AB, BC, CD, DA, le rette condotte ad angoli retti al diametro del cerchio da un suo estremo cadrà all'interno del cerchio; il che è stato dimostrato assurdo. Il cerchio tracciato di centro G e raggio una delle rette GE, GF, GH, GK non taglia quindi le rette AB, BC, CD, DA (Prop.3-16). Pertanto è tangente ad esse, ed è stato inscritto nel quadrato ABCD.
Nel quadrato dato risulta quindi inscritto un cerchio.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono Regolare: disegna il quadrato ABCD
- Punto Medio: traccia i punti medi E di AD e F di AB
- Parallela: disegna la parallela da E ad AB e da F a AD; le parallele si intersecano in G
- Circonferenza: disegna il cerchio di centro G e raggio GF