LIBRO IV
Prop.4: Nel triangolo dato inscrivere un cerchio
Dimostrazione
Sia dato il triangolo ABC: nel triangolo ABC si deve pertanto inscrivere un cerchio.
Si sechino a metà gli angoli ABC e ACB con le rette BD e CD (Prop.1-9), e queste si incontrino tra loro nel punto D. Si traccino DE, DF, DG da D perpendicolari alle rette AB, BC, CA (Prop.1-12).
Poiché l'angolo ABD è uguale all'angolo CBD e l'angolo retto BED è pure uguale all'angolo retto BFD; EBD e FBD sono due triangoli aventi due angoli uguali a due angoli e un lato uguale a un lato, cioè quello opposto a uno degli angoli uguali, che è BD comune ai due triangoli; pertanto essi avranno anche i lati restanti uguali ai lati restanti; DE è quindi uguale a DF (Prop.1-26). Per gli stessi motivi DG è uguale a DF.
Le tre rette DE, DF, DF sono quindi uguali tra loro. Pertanto il cerchio descritto di centro D e raggio una delle rette DE, DF, DG passa anche per i punti restanti ed è tangente alle rette AB, BC, CA, poiché gli angoli nei punti E, F, G sono retti.
Se infatti le secherà, la retta condotta ad angoli retti al diametro del cerchio da uno dei suoi estremi cadrà all'interno del cerchio (Prop.3.16), il che è stato dimostrato assurdo; il cerchio descritto di centro D e raggio una delle rette DE, DF, DG non seca quindi le rette AB, BC, CA. Pertanto è tangente a esse, e il cerchio risulterà quindi essere inscritto nel triangolo ABC. Risulti inscritto e sia FGE.
Nel triangolo dato risulta quindi inscritto un cerchio EFG.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Bisettrice: disegna le bisettrici BD e CD degli angoli in B e in C
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D ai lati del triangolo
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza EFG
Il centro del cerchio inscritto é detto incentro. Dalla costruzione qui presentata risulta evidente che tale punto é l'intersezione delle tre bisettrici degli angoli interni di un triangolo e rappresenta uno dei punti notevoli di un triangolo.