LIBRO XIII
Prop.2: Se il quadrato su una retta è cinque volte il quadrato su un segmento su di essa, allora, quando il doppio del detto segmento è secato nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è la parte restante della retta in origine
Dimostrazione
Sia il quadrato sulla retta AB cinque volte il quadrato sul segmento AC su di essa, e sia CD il doppio di AC: dico che, se CD è secato nel rapporto estremo e medio, allora il segmento maggiore è CB.
Si costruiscano i quadrati AF e CG su AB e CD rispettivamente, si completi la figura in AF, e si conduca oltre BE (Def.1-46). E poiché il quadrato su BA è cinque volte il quadrato su AC, allora AF è cinque volte AH. Pertanto lo gnomone MNO è quadruplo di AH.
E poiché DC è doppio di CA, allora il quadrato su DC è quadruplo del quadrato su CA, cioè, CG è quadruplo di AH. Ma anche lo gnomone MNO è quadruplo di AH, pertanto lo gnomone MNO è uguale a CG. E poiché DC è doppio di CA, mentre DC è uguale a CK, e AC è uguale a CH, allora anche KB è doppio di BH (Prop.6-1).
Ma anche la somma di LH e HB è doppia di HB, pertanto KB è uguale alla somma di LH e HB. Ma lo gnomone totale MNO è stato provato uguale a CG totale, pertanto il restante HF è uguale a BG. E BG è il rettangolo CD per DB, CD è infatti uguale a DG, e HF è il quadrato su CB, pertanto il rettangolo CD per DB è uguale al quadrato su CB.
DC sta quindi a CB come CB sta a BD. Ma DC è maggiore di CB, pertanto anche CB è maggiore di BD. Pertanto, quando la retta CD è secata nel rapporto estremo e medio, CB è il segmento maggiore.
Se quindi il quadrato su una retta è cinque volte il quadrato su un segmento su di essa, allora, quando il doppio del detto segmento è secato nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è la parte restante della retta in origine.
Lemma: E che la retta doppia AC è maggiore di BC deve essere dimostrato
Se infatti no, sia BC, se possibile, doppia di CA. Il quadrato su BC è quindi quadruplo del quadrato su CA. La somma dei quadrati su BC e CA è quindi cinque volte il quadrato su CA. Ma è stato assunto che anche il quadrato su BA è cinque volte il quadrato su CA. Pertanto il quadrato su BA è uguale alla somma dei quadrati su BC e CA, il che è impossibile (Prop.2-4). CB non è quindi il doppio di AC.
Del tutto similmente si dimostra che neanche quella minore di CB è doppia di CA, di molto maggiore sarebbe infatti l'assurdo. Il doppio di AC è quindi maggiore di CB.
La costruzione con GeoGebra:
- per la divisione del segmento si fa riferimento alla costruzione della Prop.6-30
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono regolare: disegna il quadrato su AB
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro A e raggio uguale ad AB per la semidifferenza tra la radice di 5 e 1. Tale circonferenza interseca AB in C
- Retta: disegna la retta per AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento AD = AB/2
- Poligono regolare: disegna i quadrati AE e DF
- Retta: disegna il prolungamento di KA e di FC
- Segmento: disegna il segmento DF che interseca la diagonale in H
- Parallela:la parallela per H a AB
- Angolo: disegna l'angolo ONM
Questa proposizione non è più usata.